Função modular

Considere a função f: ℝ → ℝ definida por f(2x) = |1-x|. Determine os valores de x para os quais f(x) = 2.

Gabarito: x = -2 ou x = 6.

Note que |1-x| = 2 implica que 1-x = 2 ou 1-x = -2, o que nos dá x = -1 ou x  = 3. Repare que essa não é a resposta, pois pela expressão

f(2x) = |1-x|

o correto é:
f(2.(-1)) = |1-(-1)|
f(-2) = 2
ou
f(2.3) = |1-3|
f(6) = 2

Logo, para que seja f(x) =  2 devemos ter x = -2 ou x = 6.



Obs.: Se você quer ser mais formal, note que sendo g(x) uma função temos:
f(2g(x)) = |1-g(x)|
Em particular, para g(x) = x/2 segue que
f(x) = |1-x/2|

Resolvendo |1-x/2| = 2 encontramos x= -2 ou x = 6.

DaoSeek escreveu:Note que |1-x| = 2 implica que 1-x = 2 ou 1-x = -2, o que nos dá x = -1 ou x  = 3. Repare que essa não é a resposta, pois pela expressão

f(2x) = |1-x|

o correto é:
f(2.(-1)) = |1-(-1)|
f(-2) = 2
ou
f(2.3) = |1-3|
f(6) = 2

Logo, para que seja f(x) =  2 devemos ter x = -2 ou x = 6.



Obs.: Se você quer ser mais formal, note que sendo g(x) uma função temos:
f(2g(x)) = |1-g(x)|
Em particular, para g(x) = x/2 segue que
f(x) = |1-x/2|

Resolvendo |1-x/2| = 2 encontramos x= -2 ou x = 6.

Pq vc fez |1-x| = 2? No começo?

A pergunta foi: para qual valor de x temos f(x) = 2. Eu recomendo pensar em funções informalmente como "entradas" e "saidas". No caso o x é a entrada e o f(x) é a saída. Assim, quando escrevemos f(x) =2 estamos perguntando pra qual entrada "x" teremos "saída" 2 pela função?

Pra essa questão em específico temos a fórmula:
f(2x) = |1-x|
Que significa: se dermos a "entrada" 2x pra função, a "saída" será |1-x|. Mas com isso reparamos que se x for -1, então |1-x| será 2. Ou seja, se dermos entrada "2.(-1)" teremos "saída" |1-(-1)| = 2, isto é , f(-2) = 2. Da mesma forma, se x for 3, se dermos entrada "2.3" teremos saída |1-3| = 2. ou seja, f(6) = 2. Esses valores -1 e 3 são obtidos justamente resolvendo a equação |1-x| =2.

DaoSeek escreveu:A pergunta foi: para qual valor de x temos f(x) = 2. Eu recomendo pensar em funções informalmente como "entradas" e "saidas". No caso o x é a entrada e o f(x) é a saída. Assim, quando escrevemos f(x) =2 estamos perguntando pra qual entrada "x" teremos "saída" 2 pela função?

Pra essa questão em específico temos a fórmula:
f(2x) = |1-x|
Que significa: se dermos a "entrada" 2x pra função, a "saída" será |1-x|. Mas com isso reparamos que se x for -1, então |1-x| será 2. Ou seja, se dermos entrada "2.(-1)" teremos "saída" |1-(-1)| = 2, isto é , f(-2) = 2. Da mesma forma, se x for 3, se dermos entrada "2.3" teremos saída |1-3| = 2. ou seja, f(6) = 2. Esses valores -1 e 3 são obtidos justamente resolvendo a equação |1-x| =2.

Mas o 2 é pra quando f(x) = 2 e colocando |1-x| = 2 que é o f(2x) = 2 vc encontrou -2 e 6 para os valores de x onde f(x) = 2. Substituindo um valor pra x em f(2x) eu encontro o f(x) é tipo isso?