Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico

por Alanna_01 Seg 11 Mar 2024, 20:34

Considere a função real f, definida por f(x) = [latex]-\frac{2}{x}[/latex] e duas circunferências C1 e C2 centradas na origem. Sabe-se que C1 tangencia o gráfico de f, e que o ponto de abscissa [latex]-\frac{1}{2}[/latex] pertence a C2 e ao gráfico de f. Nessas condições, a área da coroa circular definida pro C1 e C2 é igual a:
a)[latex]\frac{65}{4}\[/latex]π
b)[latex]\frac{49}{4}\[/latex]π
c) [latex]\frac{25}{4}\[/latex]π
d) [latex]\frac{9}{4}\[/latex]π
e) [latex]\frac{ \pi}{4}\[/latex]

Gab:

Eu achei o raio de C2, mas não consigo achar o raio de C1 de jeito nenhum Question

. Se alguém puder me ajudar nessa questão, eu agradeceria. Razz

por **qedpetrich** Ter 12 Mar 2024, 01:03

Olá Alanna;

Se C₁ tangencia o gráfico de f, então, pode-se dizer que C₁ tangencia seus vértices, afinal, claramente, o gráfico de f(x) trata-se de uma hipérbole, para determinar os seus vértices vamos primeiramente plotar seu gráfico:

Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico QUPCArPYtbFbUvCPGH6P8BjnICDAU+WzEAAAAASUVORK5CYII=

Perceba que as assíntotas de f são os próprios eixos coordenados, logo, fazendo a intersecção de g(x) = -x, teremos os vértices da hipérbole. Note que g corta bem ao meio f, lembrando um espelho, dividindo o segundo e terceiro quadrante em duas "imagens", imagine você rebater todos os pontos no "espelho".

f(x) = g(x)

-2/x = -x

x² = 2

.:.

x' = √2

x'' = -√2

Logo:

y' = -√2

y'' = √2

Calculando o raio de C₁, aplicando um Pitágoras:

$Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico Gif.latex?%5Cmathrm%7BR_1%3D%5Csqrt%7B%28%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2+%28-%5Csqrt%7B2%7D%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B2+2%7D%3D%5Csqrt%7B4%7D%5C%20%5Ctherefore%5C%20%5Cboxed%7B%5Cmathrm%7BR_1%3D2%20%5C%20u.c$

O raio de C₂ é semelhante, basta calcular a distância entre a origem e o ponto dado (aplicar novamente um Pitágoras):

$Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico Gif.latex?%5Cmathrm%7BR_2%3D%5Csqrt%7B%28-0%2C5%29%5E2+%284%29%5E2%7D%3D%5Csqrt%7B0%2C25+16%7D%3D%5Csqrt%7B%5Cfrac%7B1+64%7D%7B4%7D%7D%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20%5Cboxed%7B%5Cmathrm%7BR_2%3D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B65%7D%7D%7B2%7D%20%5C%20u.c$

Por fim, calculando a área da coroa:

$Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico Gif$

$Geo Analit. Circunferência tangenciando gráfico Gif.latex?%5Cmathrm%7BS%3D%5Cpi%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7B65%7D%7B4%7D-%5Cfrac%7B16%7D%7B4%7D%20%5Cright%20%29%5C%20%5Ctherefore%20%5C%20%5Cboxed%7B%5Cmathrm%7BS%3D%5Cfrac%7B49%7D%7B4%7D%5Cpi%5C%20u.a$