Quadrado

No gráfico, L é perpendicular ao plano do quadrado ABCD, S é ponto de tangencia, a distância de S a DA é 4cm e AM=2[latex]\sqrt{5}[/latex]cm. Calcule a medida do ângulo entre MS e o plano do quadrado.



a.16[latex]^{\circ}[/latex]
b.37[latex]^{\circ}[/latex]/2
c.14[latex]^{\circ}[/latex]
d.53[latex]^{\circ}[/latex]/2
e.30[latex]^{\circ}[/latex]

Seja a o lado do quadrado e O o centro do semi-círculo.
Usando GA no plano xAy do quadrado, sejam:

A(0, 0), B(0, a), C(a, a), D(a, 0), O(a/2, 0) e S(xS, yS)

Equação da semicircunferência de raio r = a/2 e centro O(a/2, 0):

(x - a/2)² + (y - 0)² = (a/2)² ---> x² - a.x + y² = 0 ---> I

Equação da reta BS, com coeficiente angular m: y - yB= m.(x - xB) --> 

y = m.x + a ---> II

I em II ---> equação do 2º grau  na variável x

Para a reta ser tangente ---> ∆ = 0 ---> Calcule m, em função de a

S pertence à reta ---> calcule xS, yS

Calcule AS = xS² + yS²

tg(M^SA) = MA/MS

por geom. plana



Seja 2a o lado do quadrado.
Vamos iniciar olhando para o quadrado (fig. da direita).
BA e BS são tangentes à circunf. --->   BS = BA = 2a. O triângulo ABS é isósceles de base AS.
FA e FS são raios --->  FA = FS = a.
O quadrilátero ABSF é inscritível e BF por ser hipotenusa comum é também o diâmetro do círculo circunscrito. Como as cordas AF e FS remetem a arcos iguais, a corda AS é perpendicular ao diâmetro BF.
Seja o ângulo \( \angle ABF = \alpha \). Como \( BA \perp AD\,\,e\,\, BF \perp AS \,\,\Rightarrow\,\, \angle SAD = \angle ABF = \alpha \).

No \( \triangle ABF,\,\, tg \alpha = \frac{AF}{AB} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2} \)

No \( \triangle AES, \,\, tg \alpha = \frac{ES}{AE} = \frac{4}{a+x} = \frac{1}{2}\,\,\rightarrow\,\, a + x = 8 \,\,\rightarrow\,\,x = 8 - a\,\,\,\,\,\,(i) \)

No \( \triangle FES, \,\,\, a^{2} - x^{2} = 16 \,\,\,\,\,\,\,\,(ii) \)

(i) em (ii)  ----->  a² - 64 + 16a - a² - 16 = 0  ----->  16a = 80  ----->  a = 5  --->  2a = 10  --->  x = 3

\( \triangle AES\,\,\rightarrow\,\, AS^{2} = 4^{2} + 8^{2} = 80\,\,\rightarrow\,\,AS = 4\sqrt{5} \)

\( tg \theta = \frac{AM}{AS} = \frac{2\sqrt{5}}{4\sqrt{5}} = \frac{1}{2} \)

calculadora  ----->  \( \theta = tg^{-1} \frac{1}{2} = 26,565^{\circ} \)

\( \therefore\,\, \theta = 26,565^{\circ} = 26,565^{\circ}\cdot \frac{2}{2} = \frac{53,13^{\circ}}{2} \approx \frac{53^{\circ}}{2} \)  ----->  alternativa (d)