Equações do terceiro grau

por Ada Augusta Sáb 17 Fev 2024, 14:24

Alguém poderia me dizer se é possível encontrar as raízes das equações de terceiro grau, de alguma forma, com derivadas?

Por exemplo: x³-3x²-x+3

Sei que essa é possível resolver através de fatoração, mas gostaria de algo mais abrangente, visto que esse método não é muito viável para todas. Aceito recomendações de livros/aulas.

por **Giovana Martins** Sáb 17 Fev 2024, 14:54

As derivadas não necessariamente servem para descobrir soluções de polinômios. As derivadas são mais úteis para descrever o comportamento dos polinômios quanto aos seus pontos de máximo e mínimo, pontos de inflexão, concavidades etc. As derivadas poderiam ser úteis para descobrir as raízes de polinômios cujas raízes apresentam multiplicidades, o que não é o caso.

Resolução 1: Por Girard:

[latex]\\\mathrm{\left\{\begin{matrix} \mathrm{x_1+x_2+x_3=3}\\ \mathrm{x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=-1}\\ \mathrm{x_1x_2x_3=-3} \end{matrix}\right.\ \therefore\ (x_1,x_2,x_3)=(-1,1,3)}[/latex]

Resolução 2: Pelo Teorema das Raízes Racionais em P(x) = x³ - 3x² - x + 3, ± 1 e 3 são possíveis raízes, logo:

Testando ± 1 e 3 em P(x) nota-se que P(±1) = P(3) = 0, logo, de fato, ± 1 e 3 são raízes de P(x).

Caso somente uma das várias possíveis raízes obtidas pelo Teorema das Raízes Racionais fosse raiz, posteriormente deveria ser aplicado Briot - Ruffini para abaixar o grau de P(x) e em seguida descobriríamos as raízes. Por exemplo, digamos que pelo teorema supracitado descobríssemos que x = 1 é raiz de P(x). Deste modo, para x = 1 apliquemos Briot - Ruffini. Assim, obteremos: Q(x) = x² - 2x - 3. Logo, por Girard ou Bhaskara em Q(x) obtém-se as demais raízes de P(x), quais sejam x = {-1,3}.

Resolução 3: Por Cardano - Tartaglia.

Ver post: CLIQUE AQUI.

Trata-se de uma resolução mais rebuscada para polinômios mais complexos.

Enfim, estas são possíveis soluções. Se houver dúvidas, avise.

por **Giovana Martins** Sáb 17 Fev 2024, 14:58

Mais um link complementar referente à terceira solução: Baricentro da Mente (Clique aqui).

por Ada Augusta Sáb 17 Fev 2024, 16:09

Perfeito, Giovana. Imagino, então, que as derivadas sejam uma forma de definir o gráfico desse tipo de função, não é? Muito obrigada pelos links, serão de grande ajuda.

por **Giovana Martins** Sáb 24 Fev 2024, 07:10

Ada Augusta escreveu:Perfeito, Giovana. Imagino, então, que as derivadas sejam uma forma de definir o gráfico desse tipo de função, não é? Muito obrigada pelos links, serão de grande ajuda.

Exato. Se quiser ter uma ideia breve de como funciona, veja este post: CLIQUE AQUI.

Se quiser se aprofundar um pouquinho mais, mas sem exageros, busque pelo livro Fundamentos da Matemática Elementar Volume 8. No capítulo indicado por "Estudo das Variações das Funções" ele explica bem o comportamento das funções via derivadas. Ver a partir da página 163.

FME Vol. 8: CLIQUE AQUI.

Desculpe a demora em dar um retorno.