Equação do terceiro grau

por DougEngenharia Qua 13 Set 2017, 06:33

a)
b) Prove que x³ + 24x - 2016 = 0 tem exatamente uma solução que é um número inteiro

por **Elcioschin** Dom 10 Dez 2017, 13:52

Regra VI do fórum: É permitida a postagem de apenas 1 questão por post. Apagada a outra.

Toda equação cúbica do tipo x³ + p.x = q ou x³ + p.x - q = 0 tem como solução a fórmula de Cardano/Tartágila:

x = ∛{q/2 + √[(q/2)² + (p/3)³]} + ∛{q/2 - √[(q/2)² + (p/3)³]}

Basta fazer p = 24 e q = 2016 e fazer as contas: você deverá encontrar duas raízes r = -6 + i.2.√33 e r = -6 - i.2.√33

Pela Relação de Girard, considerando t a 3ª raiz:

r + s + t = 0 ---> (- 6 + i.2.√33) + (-6 - i.2.√33 ) + t = 0 ---> t = 12

Confirmando a raiz t = 12 com Algoritmo de Briott-Ruffini:

x³ + 0.x² + 24.x - 2016 = 0

__|1__0 __ _24 __-2016
12|1 _12__ 168 ____ 0