Valores numéricos

por **Adam Zunoeta** Seg 13 Jun 2011, 01:04

A equação x³-2x²-5x+4=0 tem raízes x1,x2 e x3. Calcule valores numéricos para os coeficientes a,b,c e d, sabendo que as raízes de ax³+bx²+cx+d=0 são x1-2, x2-2 e x3-2.

Gabarito:
a=k
b=4k
c=-k
d=-6k onde k ∈ C*

Tentei assim....

ax³+bx²+cx+d= (x-2)³-2(x-2)²-5(x-2)+4

Desenvolvendo e igualando...

a=1
b=-8
c=15
d=14

por **Elcioschin** Seg 13 Jun 2011, 12:10

x³ - 2x² - 5x + 4 = 0 ----> Raízes: x1, x2, x3

Girard

x1 + x2 + x3 = - (-2)/1 ----> x1 + x2 + x3 = 2 ----> I

x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = - 5/1 ----> x1*x2 + x1*x3 + x2*x3 = - 5 ----> II

x1*x2*x3 = - 4/1 -----> x1*x2*x3 = - 4 ----> III

ax³ + bx² + cx + d = 0 ----> Raízes: (x1 - 2) , (x2 - 2) , (x3 - 2)

Girard

(x1 - 2) + (x2 - 2) + (x3 - 2) = - b/a ---> (x1 + x2 + x3) - 6 = - b/a ---> b = 4a ---> IV

(x1 - 2)*(x2 - 2) + (x1 - 2)*(x3 - 2) + (x2 - 2)*(x3 - 2) = c/a ---->

(x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) - 4*(x1 + x2 + x3) + 12 = c/a ----> - 5 - 4*2 + 12 = c/a ---->

c = - a -----> V

(x1 - 2)*(x2 - 2)*(x3 - 2) = - d/a ---->

x1*x2*x3 - 2*(x1*x2 + x1*x3 + x2*x3) + 4*(x1 + x2 + x3) - 8 = - d/a ---->

- 4 - 2*(-5) + 4*2 - 8 = - d/a -----> d = - 6a ----> VI

Fazendo a = k ----> b = 4k ----> c - k ----> d = - 6k

por **Adam Zunoeta** Ter 14 Jun 2011, 21:09

Obrigado Elcioschin
Very Happy

por Zeroberto Sáb 11 Nov 2023, 15:44

Pessoal, entendi perfeitamente a resolução, mas fiquei pensando em uma coisa:

Pelo teorema das raízes racionais, se esse polinômio possuir alguma raiz racional, deveria ser: -1, +1, -2, +2, -4 ou +4. Se testarmos todos, veremos que nenhum desses valores são raízes.

Isso implica a existência de raízes irracionais ou complexas, mas aí há problemas: Se o polinômio tiver raízes irracionais, pelo teorema das raízes irracionais, elas deveriam vir aos pares, algo impossível graças ao grau do polinômio. Analogamente às raízes complexas.

Então se o polinômio tiver uma raiz irracional, obrigatoriamente deverá ter outra que é seu conjugado. Mas se isso acontecer, das duas, uma: ou a outra raiz é irracional (absurdo pelo teorema das raízes irracionais) ou ela é complexa (também é um absurdo, já que o polinômio deveria ser de, no mínimo, 4º grau para que isso ocorresse).

Perante essas conclusões, esse polinômio realmente tem raízes? "a, b, c e d" existem?

por **Giovana Martins** Sáb 11 Nov 2023, 17:34

Zeroberto escreveu:
Pessoal, entendi perfeitamente a resolução, mas fiquei pensando em uma coisa:

Pelo teorema das raízes racionais, se esse polinômio possuir alguma raiz racional, deveria ser: -1, +1, -2, +2, -4 ou +4. Se testarmos todos, veremos que nenhum desses valores são raízes.

Isso implica a existência de raízes irracionais ou complexas, mas aí há problemas: Se o polinômio tiver raízes irracionais, pelo teorema das raízes irracionais, elas deveriam vir aos pares, algo impossível graças ao grau do polinômio. Analogamente às raízes complexas.

Então se o polinômio tiver uma raiz irracional, obrigatoriamente deverá ter outra que é seu conjugado. Mas se isso acontecer, das duas, uma: ou a outra raiz é irracional (absurdo pelo teorema das raízes irracionais) ou ela é complexa (também é um absurdo, já que o polinômio deveria ser de, no mínimo, 4º grau para que isso ocorresse).

Perante essas conclusões, esse polinômio realmente tem raízes? "a, b, c e d" existem?

Acho que tem um ligeiro equívoco. O Teorema das Raízes Racionais não garante que dentre as possíveis raízes alguma delas seja de fato raiz. É só uma inspeção que na maioria das vezes, testando, dá certo. Porém, pode haver que nenhuma das possíveis raízes seja raiz e ainda assim o polinômio ter raiz real.

Uma forma de inspecionar qual o tipo de raiz P(x) = x³ - 2x² - 5x + 4 tem seria a seguinte: primeiramente, vou eliminar o termo de segundo grau de P(x). Para isso, seja a transformada aditiva y = x + T tal que x = y - T. Daí vem:

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ x^3 - 2x^2 - 5x + 4=(y-T)^3 - 2(y-T)^2 - 5(y-T) + 4=0}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ (-T^3- 2 T^2+5T+4) + (3 T^2+4T-5) y+(- 3 T-2 )y^2 + y^3 = 0}\\\\ \mathrm{ Fazendo\ -3T-2=0,logo,T=-\frac{2}{3}\ \therefore\ 27y^3-171y+2=0 \therefore\ x=y+\frac{2}{3}}\\\\ [/latex]

Por Cardano - Tartaglia, para polinômios da forma f(x) = x³ + px + q vale a relação abaixo:

[latex]\\\mathrm{\Delta =\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27}}[/latex]

Algumas consequências da relação acima:

∆ = 0 → 3 raízes reais, sendo duas iguais;

∆ > 0 → 1 raiz real e 2 complexas conjugadas;

∆ < 0 → 3 raízes reais distintas

Note que P(y) = 27y³ - 171y + 2 é da forma de f(x), motivo pelo qual eu apliquei a transformada aditiva inicialmente eliminando o termo de segundo grau P(x) = x³ - 2x² - 5x + 4 para que eu pudesse fazer essa análise do discriminante.

De P(y) = 27y³ - 171y + 2 tem-se p = - 171 e q = 2, logo, ∆ < 0. Portanto, P(y) tem 3 raízes reais e distintas.

Da transformada aditiva tem-se que x = y - T, portanto, sendo y₁, y₂ e y₃ raízes de P(y), tal que (y₁, y₂, y₃) ∈ ℝ, logo, as raízes de P(x) = x³ - 2x² - 5x + 4 serão (x₁, x₂, x₃) = (y₁ + (2/3), y₂ + (2/3), y₃ + (2/3)), tal que (x₁, x₂, x₃) ∈ ℝ.

Um esboço gráfico para facilitar a visualização. Veja que ao subtrair as raízes de P(x) e P(y) dá exatamente 2/3 que é o valor encontrado para T no cálculo da transformada aditiva. Além disso, note que P(x) intersecta o eixo x em três pontos distintos, o que está coerente com a análise do discriminante que fizemos anteriormente o qual indicou que P(y) tinha 3 raízes reais e distintas e, como consequência, isso também se aplicava a P(x) tendo em vista que as raízes de P(x) e P(y) diferem de 2/3.

Valores numéricos WdGSeZ1hkyWWgAAAABJRU5ErkJggg==

por **Elcioschin** Sáb 11 Nov 2023, 17:52

Não concordo com a obrigatoriamente das raízes irracionais virem aos pares.

Aplicando o Teorema de Bolzano para alguns valores de x:

Para x = - 2 ---> f(-2) = -2
Para x = - 1 ---> f(-1) = 7

Existe uma raiz irracional no intervalo ]-2 , -1[---> x ~= - 1,8

Para x = 0 ---> f(0) = 4
Para x = 1 ---> f(1) = -2

Existe uma raiz irracional no intervalo ]0 , 1[ ---> x ~= 0,7

Para x = 3 ---> f(3) = -2
Para x = 4 ---> f(4) = 14

Existe uma raiz irracional no intervalo ]3 , 4[ ---> x ~= 3,2

O gráfico tem três raízes irracionais!

Derivando a função ---> f'(x) = 3.x² - 4.x - 5 = 0 ---> Raízes: x ~= - 0,78 e x ~= + 2,12

O gráfico tem um máximo local em x ~= - 0,78 e um mínimo local para x ~= 2,12
Para x tendendo para ± ∞ o gráfico tende para ± ∞

Agora vc pode desenhar o gráfico de f(x) e confirmar o que eu disse.

por **Giovana Martins** Sáb 11 Nov 2023, 18:00

Elcioschin escreveu:
Não concordo com a obrigatoriamente das raízes irracionais virem aos pares.

Aplicando o Teorema de Bolzano para alguns valores de x:

Para x = - 2 ---> f(-2) = -2
Para x = - 1 ---> f(-1) = 7

Existe uma raiz irracional no intervalo ]-2 , -1[---> x ~= - 1,8

Para x = 0 ---> f(0) = 4
Para x = 1 ---> f(1) = -2

Existe uma raiz irracional no intervalo ]0 , 1[ ---> x ~= 0,7

Para x = 3 ---> f(3) = -2
Para x = 4 ---> f(4) = 14

Existe uma raiz irracional no intervalo ]3 , 4[ ---> x ~= 3,2

O gráfico tem três raízes irracionais!

Derivando a função ---> f'(x) = 3.x² - 4.x - 5 = 0 ---> Raízes: x ~= - 0,78 e x ~= + 2,12

O gráfico tem um máximo local em x ~= - 0,78 e um mínimo local para x ~= 2,12
Para x tendendo para ± ∞ o gráfico tende para ± ∞

Agora vc pode desenhar o gráfico de f(x) e confirmar o que eu disse.

Legal. O Teorema de Bolzano também é sempre útil para essas análises.

As raízes do polinômio da questão são esquisitas demais. Vejam (de acordo com o Wolfram):

Valores numéricos BV8bfDqVirAAAAABJRU5ErkJggg==

Também pelo Wolfram, ao solicitar ao programa que forneça os valores aproximados dessas raízes, ele retorna os seguintes valores:

Valores numéricos AI+eZY0ykdSkAAAAAElFTkSuQmCC

Que são os valores que a gente chegou.

por Zeroberto Sáb 11 Nov 2023, 21:41

Caramba, que explicação excelente de ambos.

Giovana e Elcio, muito obrigado pela ajuda e pelos belos esclarecimentos! Realmente interpretei mal logo no início, quando comentei sobre as raízes racionais.

Abraços!