Ângulo formado por cordas

por Zeis Qui 15 Fev 2024, 13:22

1. Na figura, dois círculos estão inscritos dentro de um quadrado com as cordas OA e OB. Qual é o ângulo formado pelas cordas (AÔB)?

Ângulo formado por cordas U4BYQi+z0vAAAAAASUVORK5CYII=

Ângulo formado por cordas U4BYQi+z0vAAAAAASUVORK5CYII=

por **Elcioschin** Qui 15 Fev 2024, 13:32

Não foram informados lado do quadrado e raios dos círculos?
Tens o gabarito?

por Zeis Qui 15 Fev 2024, 13:54

Infelizmente não. Estou tentando a ideia de ângulo de 90° do quadrado. A diagonal inevitavelmente irá passar por O, se assim posso afirmar, para alguma resolução.

por **Vitor Ahcor** Qui 15 Fev 2024, 15:47

*Trace OE paralelo a diagonal do quadrado, que por construção ∠COF=90°
*OCAF é cíclico ⇒ ∠ACO=135°
*∆ACO é isósceles ⇒ ∠AOC=22.5°
*Com raciocínio idêntico OEBD é cíclico e ∠BOD=22.5°

Logo, ∠AOB = 180°-2*22.5° =135°.

por **Medeiros** Sáb 17 Fev 2024, 15:16

outro modo, usando ângulo inscrito e replemento.

Devido à simetria da figura, cujos círculoso têm centro sobre uma diagonal, o prolongamento de AO e BO encontram os pontos de tangência em C e D respectivamente.

(obs.: se isto for difĩcil de aceitar, pense na reflexão dos segmentos AO e BO sobre a diagonal)

Os arcos BC e AD medem 90º, logo os ângulos inscritos AÔD e BÔC medem 45º; e os dois juntos somam 90º. Portanto o replemento em torno de O vale 360º - (45º + 45º) = 270º.

AÔB = CÔD = 270º/2 = 135º