EDOs de Segunda Ordem

Olá a todos do fórum. Preciso resolver a seguinte EDO por a) método dos coeficientes indeterminados e b)método de variação dos parâmetros

y'' + (1/4)y = (1/4)cosx . Consegui resolver por a) e cheguei no seguinte resultado yg = c1 cos(x/2) + c2 sen(x/2) - 1/3 cos(x)

Alguém poderia ajudar por favor?

Dada a equação homogênea \(4y'' + y = 0\), ao assumir \(y = e^{mx}\), obtemos \(m = \pm i/2\), resultando em \(y_1 = \cos(x/2)\) e \(y_2 = \sin(x/2)\). Portanto, a solução homogênea é \(y_h = c_1\cos(x/2) + c_2\sin(x/2)\).

Agora, considere a equação não homogênea \(y'' + \frac{y}{4} = \frac{1}{4}\cos(x)\). Suponha uma solução particular na forma \(y_p = y_1u_1 + y_2u_2\), com \(u_1\) e \(u_2\) a serem determinados.

O Wronskiano \(W(y_1(x),y_2(x))\) é calculado como:

\[ W(y_1(x),y_2(x)) = \begin{vmatrix} \cos(x/2) & \sin(x/2) \\ -\frac{1}{2}\sin(x/2) & \frac{1}{2}\cos(x/2) \end{vmatrix}=1/2 \]

Então, temos:

\[ u_1' = \frac{1}{W(y_1(x),y_2(x))} \begin{vmatrix} 0 & \sin(x/2) \\ \frac{1}{4}\cos(x) & \frac{1}{2}\cos(x/2) \end{vmatrix} = -\frac{1}{2}\sin(x/2)\cos(x) = \frac{\sin(x/2) - \sin(3x/2)}{4} \]

Isso leva a \(u_1 = \frac{1}{6}\cos(3x/2) - \frac{1}{2}\cos(x/2)\).

Da mesma forma,

\[ u_2' = \frac{1}{W(y_1(x),y_2(x))} \begin{vmatrix} \cos(x/2) & 0 \\ -\frac{1}{2}\sin(x/2) & \frac{1}{4}\cos(x) \end{vmatrix} = \frac{1}{2}\cos(x)\cos(x/2) = \frac{\cos(x/2) + \cos(3x/2)}{4} \]

Portanto, \(u_2 = \frac{1}{6}\sin(3x/2) + \frac{1}{2}\sin(x/2)\).

Finalmente, a solução particular é \(y_p = \cos(x/2)\left(\frac{1}{6}\cos(3x/2) - \frac{1}{2}\cos(x/2)\right) + \sin(x/2)\left(\frac{1}{6}\sin(3x/2) + \frac{1}{2}\sin(x/2)\right)\).

Simplificando, obtemos \(y_p = -\frac{\cos(x)}{3}\).

Assim, a solução geral da equação diferencial é \(y = y_h + y_p\), onde \(y_h = c_1\cos(x/2) + c_2\sin(x/2)\) e \(y_p = -\frac{\cos(x)}{3}\).

obs: se atente, aqui é necessário deixar o coeficiente de y'' unitário.