Calculo combinatório

por jamil da silva Sex 09 Fev 2024, 23:18

De quantas maneiras um grupo de sete amigos pode ter feito o pedido num restaurante que oferece oito tipos de pratos diferentes, sabendo que, no máximo, três deles escolheram o mesmo prato dentre os oito pratos ofertados ?

GABARITO:
a)960
b)2187
c)3432
d)2304
e)2472

por kakaneves999@gmail.com Sex 09 Fev 2024, 23:20

A postagem está incompleta!!!

por jamil da silva Sáb 10 Fev 2024, 08:25

Sim, na verdade estava errada, mas agora editei com a devida correção... Obrigado pela observação

por **Giovana Martins** Sáb 10 Fev 2024, 08:33

Bom dia.

Esta questão é de análise combinatória, porém, foi postada na seção de álgebra. Peço, por gentileza, que atente-se aos locais de postagem. Vou mudar a postagem de seção.

por jamil da silva Sáb 10 Fev 2024, 09:01

e everdade..agora que percebi que há uma seção só de COMBINATORIA

por **Vitor Ahcor** Sáb 10 Fev 2024, 11:09

Seja \(A, B, C, D, E, F, G, H\) a quantidade de cada prato escolhido. Sabemos que no total devem ser escolhidos sete pratos:

\[A + B + C + D + E + F + G + H = 7\]

O número de soluções para a equação acima é dado por \(C(14,7)\).

Entretanto, devemos excluir os casos nos quais um dos pratos é escolhido mais de 3 vezes. Supondo que \(A'\) represente \(A + 4\) (ou seja, o número de vezes que o prato A é escolhido excede 3), podemos considerar a equação ajustada:

\[(A'+4) + B + C + D + E + F + G + H = 7\]

onde \(A' + B + C + D + E + F + G + H = 3\).

O número de soluções para a equação ajustada, após repetir o processo para os 8 pratos, é \(8 \cdot C(10,3)\).

Portanto, o número de pedidos diferentes que podem ser feitos ao limitar a escolha a 3 pedidos por prato é:

\[C(14,7) - 8 \cdot C(10,3) = 2472.\]