função trigonometrica

por Mael0912 Ter 26 Dez 2023, 08:38

Seja uma função trigonométrica definida por F(x) = 2cos (2x + π/4) onde x E R (conjunto dos números reais).
Assinale a(s) afirmação (ões) correta (s).

01) O ponto (0, √2) pertence ao gráfico da função F.
(02) A imagem da função F é o intervalo fechado [-1,1]
04) A função F tem duas raízes no intervalo fechado [0, π]
08) Os valores mínimos de F são assumidos em x = 3π/8 + k.π, com k inteiro.
16) Os valores máximos de F são assumidos em x = π/4 + k.π, com k inteiro.

gabarito:

alguém me ajuda nessa pfv

por **Giovana Martins** Ter 26 Dez 2023, 09:30

Estas questões de funções trigonométricas são complicadinhas. Então, se houver qualquer dúvida, avise.

Proposição 01: certa.

[latex]\\\mathrm{Se \left ( 0,\sqrt{2} \right )\in f(x),logo,f(0)=\sqrt{2}.\ Vamos\ testar\ para\ ver\ se\ a\ igualdade\ ocorre:}\\\\ \mathrm{\ f(0)=\sqrt{2}\to 2cos\left ( 0+\frac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}\to 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\to \sqrt{2}=\sqrt{2}\ \therefore\ Item\ certo}[/latex]

Proposição 02: errada.

[latex]\\\mathrm{\Acute{E}\ sabido\ que \ -1\leq cos(\theta )\leq 1\to Im(f(\theta ))=[-1,1].\ Fazendo\ \theta =2x+\frac{\pi }{4}:}\\\\ \mathrm{-1\leq cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 1\to -2\leq 2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 2\ \therefore\ Im(f(x))=[-2,2]}[/latex]

Proposição 04: certa.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0}\\\\ \mathrm{No\ intervalo\ [0,\pi ]\ cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to S=\left \{ \frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8} \right \}}[/latex]

Proposição 08: certa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ menor\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=-1\ \therefore\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Proposição 16: falsa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ maior\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=1\ \therefore\ x=\frac{7\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Portanto: 01, 04 e 08.

Segue o esboço do gráfico para facilitar o entendimento.

Acredito que seja isto.

por Mael0912 Ter 26 Dez 2023, 10:09

Giovana Martins escreveu:
Estas questões de funções trigonométricas são complicadinhas. Então, se houver qualquer dúvida, avise.

Proposição 01: certa.

[latex]\\\mathrm{Se \left ( 0,\sqrt{2} \right )\in f(x),logo,f(0)=\sqrt{2}.\ Vamos\ testar\ para\ ver\ se\ a\ igualdade\ ocorre:}\\\\ \mathrm{\ f(0)=\sqrt{2}\to 2cos\left ( 0+\frac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}\to 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\to \sqrt{2}=\sqrt{2}\ \therefore\ Item\ certo}[/latex]

Proposição 02: errada.

[latex]\\\mathrm{\Acute{E}\ sabido\ que \ -1\leq cos(\theta )\leq 1\to Im(f(\theta ))=[-1,1].\ Fazendo\ \theta =2x+\frac{\pi }{4}:}\\\\ \mathrm{-1\leq cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 1\to -2\leq 2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 2\ \therefore\ Im(f(x))=[-2,2]}[/latex]

Proposição 04: certa.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0}\\\\ \mathrm{No\ intervalo\ [0,\pi ]\ cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to S=\left \{ \frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8} \right \}}[/latex]

Proposição 08: certa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ menor\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=-1\ \therefore\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Proposição 16: falsa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ maior\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=1\ \therefore\ x=\frac{7\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Portanto: 01, 04 e 08.

Segue o esboço do gráfico para facilitar o entendimento.

Acredito que seja isto.

pq o pi sumiu n entendi isso

por **Giovana Martins** Ter 26 Dez 2023, 10:11

Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Estas questões de funções trigonométricas são complicadinhas. Então, se houver qualquer dúvida, avise.

Proposição 01: certa.

[latex]\\\mathrm{Se \left ( 0,\sqrt{2} \right )\in f(x),logo,f(0)=\sqrt{2}.\ Vamos\ testar\ para\ ver\ se\ a\ igualdade\ ocorre:}\\\\ \mathrm{\ f(0)=\sqrt{2}\to 2cos\left ( 0+\frac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}\to 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\to \sqrt{2}=\sqrt{2}\ \therefore\ Item\ certo}[/latex]

Proposição 02: errada.

[latex]\\\mathrm{\Acute{E}\ sabido\ que \ -1\leq cos(\theta )\leq 1\to Im(f(\theta ))=[-1,1].\ Fazendo\ \theta =2x+\frac{\pi }{4}:}\\\\ \mathrm{-1\leq cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 1\to -2\leq 2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 2\ \therefore\ Im(f(x))=[-2,2]}[/latex]

Proposição 04: certa.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0}\\\\ \mathrm{No\ intervalo\ [0,\pi ]\ cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to S=\left \{ \frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8} \right \}}[/latex]

Proposição 08: certa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ menor\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=-1\ \therefore\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Proposição 16: falsa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ maior\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=1\ \therefore\ x=\frac{7\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Portanto: 01, 04 e 08.

Segue o esboço do gráfico para facilitar o entendimento.

Acredito que seja isto.
pq o pi sumiu n entendi isso

Em qual parte que você se refere que o pi sumiu?

por Mael0912 Ter 26 Dez 2023, 10:20

Giovana Martins escreveu:
Mael0912 escreveu:
Giovana Martins escreveu:
Estas questões de funções trigonométricas são complicadinhas. Então, se houver qualquer dúvida, avise.

Proposição 01: certa.

[latex]\\\mathrm{Se \left ( 0,\sqrt{2} \right )\in f(x),logo,f(0)=\sqrt{2}.\ Vamos\ testar\ para\ ver\ se\ a\ igualdade\ ocorre:}\\\\ \mathrm{\ f(0)=\sqrt{2}\to 2cos\left ( 0+\frac{\pi }{4} \right )=\sqrt{2}\to 2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\to \sqrt{2}=\sqrt{2}\ \therefore\ Item\ certo}[/latex]

Proposição 02: errada.

[latex]\\\mathrm{\Acute{E}\ sabido\ que \ -1\leq cos(\theta )\leq 1\to Im(f(\theta ))=[-1,1].\ Fazendo\ \theta =2x+\frac{\pi }{4}:}\\\\ \mathrm{-1\leq cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 1\to -2\leq 2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )\leq 2\ \therefore\ Im(f(x))=[-2,2]}[/latex]

Proposição 04: certa.

[latex]\\\mathrm{\ \ \ \ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0}\\\\ \mathrm{No\ intervalo\ [0,\pi ]\ cos\left ( 2x+ \frac{\pi }{4} \right )=0\to S=\left \{ \frac{\pi }{8},\frac{5\pi }{8} \right \}}[/latex]

Proposição 08: certa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ menor\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=-1\ \therefore\ x=\frac{3\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Proposição 16: falsa.

[latex]\\\mathrm{Sendo\ f(x)=2cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right ),o\ maior\ valor\ de\ f(x)\ ocorre\ quando:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ cos\left (2x+ \frac{\pi }{4} \right )=1\ \therefore\ x=\frac{7\pi }{8}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}}[/latex]

Portanto: 01, 04 e 08.

Segue o esboço do gráfico para facilitar o entendimento.

Acredito que seja isto.
pq o pi sumiu n entendi isso

Em qual parte que você se refere que o pi sumiu?