Análise combinatória

por VIRTUDE=RESPEITO Ter 28 Nov 2023, 01:55

Considere ainda o mesmo banco de questões on-line com dez exercícios, sendo que três são fáceis, cinco são médios e dois são difíceis. Quando um aluno vai fazer um teste on-line, o sistema escolhe, ao acaso, quatro dessas dez questões para compor a avaliação. Dois testes são considerados distintos se um deles possui pelo menos uma questão que não está presente no outro. O número máximo de testes distintos em que constam ao menos uma questão fácil, uma média e uma difícil equivale a:

A) 105
B) 150
C) 210
D) 225

Gabarito preliminar: A

por Mathematicien Ter 28 Nov 2023, 10:14

F = questão fácil
M = questão média
D = questão difícil

As 10 questões que existem são FFFMMMMMDD. A ordem não importa. Dessas letras, a gente tem que escolher quatro, mas tem que haver no mínimo 1 F, 1 M e 1 D.

_ _ _ _

As possibilidades para preencher esses 4 espaços são as seguintes:

F F M D

ou

F M M D

ou

F M D D

Como a ordem não importa, a gente usa combinação.

C(3,2)*5*2 + 3*C(5,2)*2 + 3*5*1 = 105

por vvarmbruster Ter 28 Nov 2023, 13:43

Mathematicien escreveu:F = questão fácil
M = questão média
D = questão difícil

As 10 questões que existem são FFFMMMMMDD. A ordem não importa. Dessas letras, a gente tem que escolher quatro, mas tem que haver no mínimo 1 F, 1 M e 1 D.

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As possibilidades para preencher esses 4 espaços são as seguintes:

F F M D

ou

F M M D

ou

F M D D

Como a ordem não importa, a gente usa combinação.

C(3,2)*5*2 + 3*C(5,2)*2 + 3*5*1 = 105

Consegui entender este raciocínio, mas poderia por favor explicar qual seria o erro de realizar C(3,1)*C(5,1)*C(2,1)*C(7,1) ?

por Mathematicien Ter 28 Nov 2023, 13:50

vvarmbruster escreveu:
Mathematicien escreveu:F = questão fácil
M = questão média
D = questão difícil

As 10 questões que existem são FFFMMMMMDD. A ordem não importa. Dessas letras, a gente tem que escolher quatro, mas tem que haver no mínimo 1 F, 1 M e 1 D.

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As possibilidades para preencher esses 4 espaços são as seguintes:

F F M D

ou

F M M D

ou

F M D D

Como a ordem não importa, a gente usa combinação.

C(3,2)*5*2 + 3*C(5,2)*2 + 3*5*1 = 105

Consegui entender este raciocínio, mas poderia por favor explicar qual seria o erro de realizar C(3,1)*C(5,1)*C(2,1)*C(7,1) ?

Porque o enunciado diz "ao menos uma questão fácil, uma média e uma difícil". Quando fala "ao menos", é porque existem casos. Existe o caso em que há apenas uma fácil e o caso em que há duas fáceis, e o mesmo para os outros níveis de dificuldade. Quando há casos, a gente resolve da maneira que eu fiz, separando caso por caso.

por vvarmbruster Ter 28 Nov 2023, 13:54

Mathematicien escreveu:
vvarmbruster escreveu:
Mathematicien escreveu:F = questão fácil
M = questão média
D = questão difícil

As 10 questões que existem são FFFMMMMMDD. A ordem não importa. Dessas letras, a gente tem que escolher quatro, mas tem que haver no mínimo 1 F, 1 M e 1 D.

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As possibilidades para preencher esses 4 espaços são as seguintes:

F F M D

ou

F M M D

ou

F M D D

Como a ordem não importa, a gente usa combinação.

C(3,2)*5*2 + 3*C(5,2)*2 + 3*5*1 = 105

Consegui entender este raciocínio, mas poderia por favor explicar qual seria o erro de realizar C(3,1)*C(5,1)*C(2,1)*C(7,1) ?

Porque o enunciado diz "ao menos uma questão fácil, uma média e uma difícil". Quando fala "ao menos", é porque existem casos. Existe o caso em que há apenas uma fácil e o caso em que há duas fáceis, e o mesmo para os outros níveis de dificuldade. Quando há casos, a gente resolve da maneira que eu fiz, separando caso por caso.

Sim, mas essa garantia da existência de ao menos um caso não seria satisfeita pela pelas três primeiras combinações? Dessa forma, a quarta questão (que pode ser de qualquer dificuldade) poderia vir de qualquer uma das 7 restantes, independente da dificuldade.

por Mathematicien Ter 28 Nov 2023, 14:15

Cara, agora vc me pegou! Eu realmente não sei te dizer o motivo. Só sei que a gente lista as possibilidades e separa em casos sempre que possível. Acho que tem a ver com o princípio fundamental da contagem.