Ajuda com questão de invariantes

Algum dos amigos poderia ajudar com essa questão infeliz que não consegui sequer começar a resolver?

Cinco números 1, 2, 3, 4, 5 estão escritos em um quadro 
negro. Um estudante pode apagar dois dos números a e b e escrever nos seus 
lugares a + b e ab. Após algumas operações podemos obter a quíntupla 21, 27, 
64, 180, 540?

Chamemos a quíntupla de S. Sejam a,b ∈ S arbitrários, existem três possibilidades:

1. a e b são pares. Nesse caso, tanto a+b quanto ab também são pares, não existe mudança na quantidade de valores pares ou ímpares. 

2. a é par e b é impar (ou o contrário). Nesse caso, a + b é ímpar e ab é par. Mais uma vez, não houve alteração na quantidade de pares e ímpares. 

3. a e b são ímpares. Nesse caso, a + b é par mas ab é ímpar. Perceba que um valor ímpar é substituído por um valor par. 

Na quíntupla inicial  de S existem 2 números pares (2,4) e 3 números ímpares (1,3,5). Para a maioria das escolhas, essa configuração não se altera, a não ser quando a e b são escolhidos ímpares. Nesse caso, a nova quíntupla passa a ter 3 valores pares e 2 ímpares. Se a partir dessa nova configuração a e b são escolhidos ímpares novamente, então a mais nova quíntupla terá 4 pares e 1 ímpar. A partir desse momento a paridade não se altera mais, uma vez que não existe mais como escolher a e b ímpar ao mesmo tempo. 

Na quíntupla proposta, existem dois ímpares e três pares, o que significa que pelo menos um valor par foi gerado a partir da soma de dois ímpares e um valor ímpar foi gerado a partir do produto entre dois ímpares. 

27 = 9*3 ou 27*1. Não existe 9+3=12 ou 27+1=28 entre os pares. 

21 = 7*3 ou 21*1. Não existe 7+3=10 ou 21+1=22 entre os pares. 

Segue-se que os pares e ímpares são incompatíveis e não se pode obter a quíntupla. Eu sinto que deve existir alguma maneira mais elegante de se chegar a esse resultado, se você achar, ou mesmo se achar alguma falha no meu racicínio por favor compartilhe !