Discussão de sistema

por vvarmbruster Ter 12 Set 2023, 21:19

Determine o número real a para que o sistema

x + ay + z = 0
x+ y + z = 0
ax + y + z = 0

admita soluções distintas da trivial.

Gabarito: a = 1.

Pessoal tô bem confuso nessa questão (teoricamente simples) do Aref. Já tentei fazer o escalonamento dos sistemas, mas não saiu. Se puderem dar uma olhada, agradeço!

por **Elcioschin** Ter 12 Set 2023, 22:01

1 .. a .. 1
1 .. 1 .. 1
a .. 1 .. 1

∆ = 1 + a² + 1 - (a + 1 + a) ---> ∆ = a² - 2a + 1 ---> ∆ = (a - 1)²

Para ∆ = 0 ---> a = 1

por vvarmbruster Ter 12 Set 2023, 22:03

Elcioschin escreveu:1 .. a .. 1
1 .. 1 .. 1
a .. 1 .. 1

∆ = 1 + a² + 1 - (a - 1 - a) ---> ∆ = a² - 2a + 1 ---> ∆ = (a - 1)²

Para ∆ = 0 ---> a = 1

Ah, me sentindo muito burro, ahhaha. Mestre Elcio, o sr tem alguma dica sobre quando é mais fácil fazer por matriz ou por escalonamento do sistema? Estou tendo um pouco de dificuldades em entender em quais situações é mais proveitoso aplicar uma ou outra.

Obrigado!

por fernandaaaaaaaaaa Ter 12 Set 2023, 22:04

Eu fiz desta forma:

por **Giovana Martins** Ter 12 Set 2023, 22:05

[latex]\\\mathrm{\begin{pmatrix} 1 &a &1 &0 \\ 1 & 1 &1 &0 \\ a& 1 &1 &0 \end{pmatrix}\overrightarrow{\mathrm{L_2=L_2-L_1}}\to \begin{pmatrix} 1 &a &1 &0 \\ 0 & -a+1 &0 &0 \\ a& 1 &1 &0 \end{pmatrix}\overrightarrow{\mathrm{L_3=L_3-aL_1}}\begin{pmatrix} 1 &a &1 &0 \\ 0 & -a+1 &0 &0 \\ 0& -a^2+1 &-a+1 &0 \end{pmatrix}}\\\\ \mathrm{\begin{pmatrix} 1 &a &1 &0 \\ 0 & -a+1 &0 &0 \\ 0& -a^2+1 &-a+1 &0 \end{pmatrix}\overrightarrow{\mathrm{L_3=L_3-(a+1)L_2}}\to \begin{pmatrix} 1 &a &1 &0 \\ 0 & -a+1 &0 &0 \\ 0& 0 &-a+1 &0 \end{pmatrix}\to \left\{\begin{matrix} \mathrm{x+ay+z=0}\\ \mathrm{(-a+1)y=0}\\ \mathrm{(-a+1)z=0} \end{matrix}\right.}\\\\ \mathrm{Sendo\ z=\frac{0}{-a+1},logo,se\ a=1\ o \ sistema\ admite\ infinitas\ solucoes.\ Para\ a\neq 1, x=y=z=0.}[/latex]