Limite ao infinito
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Limite ao infinito
por alicetmagni Sex 18 Ago 2023, 11:04
Sabendo que [latex]\lim_{x \rightarrow \infty} \left ( 1 + \frac{1}{x} \right )^{x} = e[/latex]. Calcule [latex]\lim_{x \rightarrow \infty} \left ( \frac{x+1}{x+4} \right )^{x}[/latex]
alicetmagni- Iniciante
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Re: Limite ao infinito
por tales amaral Sex 18 Ago 2023, 19:31
[latex]
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x &= \lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{\dfrac{x+4}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
\end{align*}[/latex]
Fazendo [latex] u = \dfrac{x+1}{3} \implies x = 3u - 1[/latex]. Logo
[latex]
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{u\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{3u-1} \\~\\
&= \lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3}\cdot \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1}
\end{align*}[/latex]
COnsegue terminar?
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x &= \lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{\dfrac{x+4}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
\end{align*}[/latex]
Fazendo [latex] u = \dfrac{x+1}{3} \implies x = 3u - 1[/latex]. Logo
[latex]
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{u\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{3u-1} \\~\\
&= \lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3}\cdot \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1}
\end{align*}[/latex]
COnsegue terminar?
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Licenciatura em Matemática (2022 - ????)
tales amaral- Monitor
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alicetmagni gosta desta mensagem
Re: Limite ao infinito
por alicetmagni Sex 18 Ago 2023, 19:50
tales amaral escreveu:[latex]
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x &= \lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{\dfrac{x+4}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
\end{align*}[/latex]
Fazendo [latex] u = \dfrac{x+1}{3} \implies x = 3u - 1[/latex]. Logo
[latex]
\begin{align*}
\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{x+1}{x+4}\right)^x&=\lim_{x\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{3}{x+1}}\right)^x\\~\\
&=\lim_{u\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{3u-1} \\~\\
&= \lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3}\cdot \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1}
\end{align*}[/latex]
COnsegue terminar?
[latex]
\lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3}\cdot \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1} = \lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3}\cdot \lim_{u\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1}[/latex]
Resolvendo por partes:
[latex]\lim_{u\to \infty} \left[\left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{u}\right]^{3} = \frac{1}{e^{3}}[/latex]
[latex]\lim_{u\to \infty} \left(\dfrac{1}{1+\dfrac{1}{u}}\right)^{-1} = 1[/latex]
Substituindo os valores na primeira equação:
[latex]\frac{1}{e^{3}} \cdot 1 = \frac{1}{e^{3}}[/latex]
Acredito ser isso. Pode me confirmar, Tales?
Obrigada! ^-^
alicetmagni- Iniciante
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