Questão de limite

Se [latex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) = 4[/latex]. Calcule [latex]\lim_{x \rightarrow 0} f(x) \frac{1-\cos (14x)}{5x^{2}}[/latex].

aoba!

vamos separar o limite da seguinte forma:

[latex]\lim_{x\rightarrow 0}f(x).\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1}{5}.\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos14x}{x^2}[/latex]

Já diminuímos bastante, fica só:

[latex]\frac{4}{5}\lim_{x\rightarrow 0}\frac{1-cos14x}{x^2}[/latex]

Usando o l'hopital
[latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{14.sen14x}{2x}=\lim_{x\rightarrow 0}7.14.cos14x=98[/latex]

Ficamos com 98.4/5=392/5

Usar l'hopital parece meio apelação, vou fazer de uma forma mais "honesta".

Na trigonometria, temos:
cos2x=1-2sen²x -> 2sen²x=1-cos2x
usando isso na questão: sen²7x
resta então:

[latex]\lim_{x\rightarrow 0}\frac{2sen^27x}{x^2}=2[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{sen7x}{x}]^2[/latex]

fazendo u=7x -> x=u/7

[latex]2[\lim_{u\rightarrow 0}\frac{7senu}{u}]^2=2.49[/latex]

logo: 98.4/5=392/5

É isso