EFOMM 2022
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EFOMM 2022
por Asp_Mega Qua 16 Ago 2023, 10:20
Um barco com 1000 kg de massa se desloca na água
com velocidade constante de 10 m/s. Ao desligar os
motores, esse barco fica sujeito apenas (na direção
horizontal) à força de arrasto exercida pela água,
proporcional à velocidade e dada por
F =-200v , com v em metros por segundo e
F em Newtons. Quanto vale, em Joules, o
trabalho exercido pela força de arrasto desde o
momento do desligamento do motor até que o módulo
da velocidade do barco seja de 2 m/s?
Gabarito: -48.000
Alguém poderia fazer essa por integral?
com velocidade constante de 10 m/s. Ao desligar os
motores, esse barco fica sujeito apenas (na direção
horizontal) à força de arrasto exercida pela água,
proporcional à velocidade e dada por
F =-200v , com v em metros por segundo e
F em Newtons. Quanto vale, em Joules, o
trabalho exercido pela força de arrasto desde o
momento do desligamento do motor até que o módulo
da velocidade do barco seja de 2 m/s?
Gabarito: -48.000
Alguém poderia fazer essa por integral?
Asp_Mega- Padawan
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Re: EFOMM 2022
por Giovana Martins Qui 17 Ago 2023, 22:26
[latex]\\\mathrm{\tau =\Delta E_C=\frac{m\times (v_f^2-v_i^2)}{2}=\frac{1000\times [(2)^2-(10)^2]}{2}=-48\ kJ}[/latex]
Nota: verifiquei posteriormente que você busca uma resolução por integrais. Vou tentar pensar em algo aqui.
Giovana Martins- Grande Mestre
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Re: EFOMM 2022
por Giovana Martins Qua 23 Ago 2023, 17:39
Olha, não consegui propor nada via integrais. Vou pensar mais um pouco mais adiante. De qualquer modo, deixo algumas ideias para quem quiser tentar desenvolver mais.
[latex]\\\mathrm{F=m\frac{dv}{dt}\to -200v=1000\frac{dv}{dt}\to -\int dt=5\int \frac{1}{v}dv}\\\\ \mathrm{-t=5\left ( ln|x|+c_1 \right )\to -\frac{t}{5}-c_1=ln|v(t)|\to |v(t)|=e^{-\frac{t}{5}-c_1}}\\\\ \mathrm{|v(t)|=e^{-\frac{t}{5}}e^{-c_1}\to |v(t)|=c_2e^{-\frac{t}{5}}\ \therefore\ e^{-\frac{t}{5}}>0,\forall\ t\in\mathbb{R}\ \therefore\ v(t)=c_2e^{-\frac{t}{5}}}\\\\ \mathrm{v(t)=\frac{dx}{dt}\to \int dx=\int v(t)dt\to x(t)=\int \left ( c_2e^{-\frac{t}{5}} \right )dt\to x(t)=-5c_2e^{-\frac{t}{5}}+c_3}\\\\ \mathrm{Sendo\ a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left ( c_2e^{-\frac{t}{5}} \right )\ \therefore\ a(t)=-\frac{c_2e^{-\frac{t}{5}}}{5}}\\\\ [/latex]
[latex]\\\mathrm{F=m\frac{dv}{dt}\to -200v=1000\frac{dv}{dt}\to -\int dt=5\int \frac{1}{v}dv}\\\\ \mathrm{-t=5\left ( ln|x|+c_1 \right )\to -\frac{t}{5}-c_1=ln|v(t)|\to |v(t)|=e^{-\frac{t}{5}-c_1}}\\\\ \mathrm{|v(t)|=e^{-\frac{t}{5}}e^{-c_1}\to |v(t)|=c_2e^{-\frac{t}{5}}\ \therefore\ e^{-\frac{t}{5}}>0,\forall\ t\in\mathbb{R}\ \therefore\ v(t)=c_2e^{-\frac{t}{5}}}\\\\ \mathrm{v(t)=\frac{dx}{dt}\to \int dx=\int v(t)dt\to x(t)=\int \left ( c_2e^{-\frac{t}{5}} \right )dt\to x(t)=-5c_2e^{-\frac{t}{5}}+c_3}\\\\ \mathrm{Sendo\ a(t)=\frac{dv(t)}{dt}=\frac{d}{dt}\left ( c_2e^{-\frac{t}{5}} \right )\ \therefore\ a(t)=-\frac{c_2e^{-\frac{t}{5}}}{5}}\\\\ [/latex]
Giovana Martins- Grande Mestre
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