Lançamento Oblíquo

por olavocallegarii Ter 15 Ago 2023, 11:46

(Resnick, Halliday, Krane, Física 1, 4ED - Capítulo 4 - Movimento Bi e Tridimensional - Questão 44)

Um canhão é posicionado para atirar projéteis com velocidade inicial V0 diretamente acima de uma elevação de ângulo [latex]\alpha [/latex],como mostrado na figura. Que ângulo o canhão deve fazer coma a horizontal de forma a ter o alcance máximo possível da elevação?

Lançamento Oblíquo SmHZGcdJTTvNb3f9JjtvaUkOLGv944dp+Ds7P8Dc0E98CWbQdYAAAAASUVORK5CYII=

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Gabarito: [latex]\Theta =1/4 (2\alpha +\pi)[/latex]

por **Giovana Martins** Ter 15 Ago 2023, 18:04

Seja θ - α o ângulo de lançamento da partícula, dado que θ é o ângulo entre o lançamento e a horizontal.

[latex]\\\mathrm{Sejam\ v_x=v_0cos(\theta -\alpha ),\ v_y=v_0sin(\theta -\alpha ),g_x=gsin(\alpha )\ e\ g_y=gcos(\alpha )}\\\\ \mathrm{ Tempo\ de\ v\hat{o}o:v_y(t)=v_0sin(\theta -\alpha )-gcos(\alpha )t}\\\\ \mathrm{Para\ t_{Subida}=t_{Descida}\ \therefore\ t_{V\hat{o}o}=2t_{Subida}=2t_{Descida}=\frac{2v_0sin(\theta -\alpha )}{gcos(\alpha )}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Em\ x:R=v_xt_{V\hat{o}o}+\frac{g_xt_{V\hat{o}o}^2}{2}:}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=\frac{2v_0^2sin(\theta -\alpha )cos(\theta -\alpha )}{gcos(\alpha )}-\frac{2v_0^2sin^2(\theta -\alpha )sin(\alpha )}{gcos^2(\alpha )}}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ R=\frac{2v_0^2}{g}\left [ \frac{sin(\theta -\alpha )cos(\theta -\alpha )}{cos(\alpha )}-\frac{sin^2(\theta -\alpha )sin(\alpha )}{cos^2(\alpha )} \right ]}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ R=\frac{2v_0^2}{g}\left [ \frac{sin(\theta -\alpha )cos(\theta -\alpha )cos(\alpha )}{cos^2(\alpha )}-\frac{sin^2(\theta -\alpha )sin(\alpha )}{cos^2(\alpha )} \right ]}[/latex]

[latex] \mathrm{ R=\frac{2v_0^2sin(\theta -\alpha )}{gcos^2(\alpha )}[cos(\theta -\alpha )cos(\alpha )-sin(\theta -\alpha )sin(\alpha )]=\frac{2v_0^2sin(\theta -\alpha )cos(\theta )}{gcos^2(\alpha )}}\\\\ \mathrm{Sendo\ \alpha a=cte,logo,R=R(\theta )=\frac{2v_0^2sin(\theta -\alpha )cos(\theta )}{gcos^2(\alpha )}=ksin(\theta -\alpha )cos(\theta ),k=cte}\\\\ \mathrm{Sejam\ \lambda =\theta -\alpha \ e\ \mu =\theta\ \therefore\ R(\theta )=ksin(\lambda )cos(\mu )=\frac{k}{2}[sin(\lambda +\mu )+sin(\lambda -\mu )]}\\\\ \mathrm{\lambda -\mu =-\alpha =cte\ \therefore\ R(\theta )=\frac{k}{2}[sin(\lambda +\mu )+cte]\ \therefore\ R(\theta )=R_{m\acute{a}x}\ quando\ sin(\lambda +\mu )=1}\\\\ \mathrm{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \therefore\ \lambda +\mu =\frac{\pi }{2}\to 2\theta -\alpha =\frac{\pi }{2}\ \therefore\ \theta =\frac{\pi +2\alpha }{4}}[/latex]

Eu fui bem direta nas contas. Se houver dúvidas, avise.