equação com fatorial

por fernandaaaaaaaaaa Ter Jul 25 2023, 03:18

Resolver a seguinte equação:

6C x,3+ 8C x,5 = A x,4

gab. x=18

por Lucas_DN684 Ter Jul 25 2023, 12:05

Obs: Leia-se: "^" como "e", conjunção aditiva, conjunção lógico-matemática; "⇔" como "equivale".

[latex](\forall n\in \mathbb{Z}_{+})(n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 1 )\, \, \, (I)[/latex]

[latex]6.C_{x}^{3}+8.C_{x}^{5}=A_{x}^{4}\Leftrightarrow 6.\frac{x!}{3!(x-3)!}+ 8.\frac{x!}{5!(x-5)!} = \frac{x!}{(x-4)!} \Leftrightarrow[/latex]

[latex]\Leftrightarrow \left ( \frac{6.x!}{3!(x-3)!}+ \frac{8.x!}{5!(x-5)!} = \frac{x!}{(x-4)!} \right ) \, \, \, \wedge \, \, \, (I) \Leftrightarrow \frac{1}{(x-3)(x-4)}+\frac{1}{15}=\frac{1}{(x-3)}\, \, \, \, \, (\times \, \frac{(x-5)!}{x!}) \Leftrightarrow [/latex]

[latex]\Leftrightarrow \left ( \frac{1}{(x-3)(x-4)}+\frac{1}{15}=\frac{1}{(x-3)} \right )\, \, \, \wedge \, \, \, x\notin \left \{ 3,4 \right \}\Leftrightarrow \frac{x-18}{x-3}=0\, \therefore \, x=18[/latex]

por fernandaaaaaaaaaa Ter Jul 25 2023, 14:22

obrigada! Eu cheguei a uma equação de segundo grau que me deu 18 e 4 como resultados... Por que o 4 não é gabarito tb?

por Lucas_DN684 Ter Jul 25 2023, 15:13

fernandaaaaaaaaaa escreveu:obrigada! Eu cheguei a uma equação de segundo grau que me deu 18 e 4 como resultados... Por que o 4 não é gabarito tb?

Note que se x fosse igual a 4, teríamos, na última linha do desenvolvimento do cálculo, 1/0 (um sobre zero) o que é indefinido, ou até mesmo impossível. Na verdade, a questão apresentaria tal absurdo para x igual a 4 ou 3, pelo mesmo efeito. Nesse sentido, nos casos de respostas múltiplas, convém aferir se todos os valores não implicam em absurdos matemáticos tais quais divisão por zero ou valores que não estão no domínio da função dada (p. e.: reais negativos não possuem imagem em funções reais do tipo raiz de índice par, isto é, -1 quer seja para raiz quadrada, quarta etc).

por Lucas_DN684 Ter Jul 25 2023, 18:33

fernandaaaaaaaaaa escreveu:obrigada! Eu cheguei a uma equação de segundo grau que me deu 18 e 4 como resultados... Por que o 4 não é gabarito tb?

Acabei de tirar algumas dúvidas no Reddit com um gringo sobre essa questão. É realmente estranho que o Wolfram tenha me dado respostas diferentes¹ para o mesmo problema. Aqui vai a resolução do colega:

FormulaDriven escreveu:The original specification of the problem implies x >= 5, otherwise you need to use the Gamma function to extend the definition of n! to negative n. If you apply that condition, then you and Wolfram agree that the only solution is x = 18.

"A especificação original do problema implica que x >= (x maior ou igual a) 5, caso contrário, é necessário usar a função Gamma para estender a definição de n! para n negativo. Se você aplicar essa condição, então você e Wolfram concordam que a única solução é x = 18."

Acontece que a função Gamma não é dada no ensino médio, motivo pelo qual provavelmente o gabarito consta somente 18 como resposta.

1: Link: %2BDivide[8x%21%2C5%21\%2840%29x-5\%2841%29%21]%3DDivide[x%21%2C\%2840%29x-4\%2841%29%21]]Divide[6x!,3!(x-3)!]+Divide[8x!,5!(x-5)!]=Divide[x!,(x-4)!] - Wolfram|Alpha (wolframalpha.com)

por **Giovana Martins** Qua Jul 26 2023, 02:56

Por definição:

[latex]\\\mathrm{A_{m,r}=\frac{m!}{(m-r)!},vale\ \forall\ m\in \mathbb{N}^{*},\forall\ r\in \mathbb{N}^{*}\ com\ r\leq m}\\\\\mathrm{C_{m,r}=}\binom{\mathrm{m}}{\mathrm{r}}=\frac{\mathrm{m}!}{\mathrm{r}!(\mathrm{m-r})!}\mathrm{,vale\ \forall \ m,r\in \mathbb{N}\ com\ r\leq m}[/latex]

Da equação: 6C x,3+ 8C x,5 = A x,4

Condições de existência: x ≥ 3 (I), x ≥ 4 (II) e x ≥ 5 (III).

Deste modo: (I) Ո (II) Ո (III), logo, x ≥ 3 Ո x ≥ 4 Ո x ≥ 5 ∴ x ≥ 5

O que nos leva à conclusão de que o valor de x = 4 não deveria ser cogitado.