Conjuntos - Implicação.

por ReplayBr Sáb 15 Jul 2023, 04:02

3- x ∈ A ∧ A ⊂ B ⟹ x ≠ B
4- x ∈ A ∧ x ∈ B ⟺ x ∈ A ∪ B

Gabarito: Falso e Falso para a 3 e 4

Por que essas implicações e equivalências estão erradas, alguém pode me explicar?
Acho que a 3 eu vou tentar entender:

3 - A 3 é falsa pois x ∈ A ∧ A ⊂ B ⟹ x ≠ B não implica automaticamente que x ≠ B, seria isso ?
A 4 eu não tenho ideia.

por Lucas_DN684 Sáb 15 Jul 2023, 04:49

3: x ∈ A ∧ A ⊂ B ⟹ x ≠ B
"Se x pertence a A e A é parte de B então x é diferente de B"

Temos duas inconsistências:

" x ≠ B" é um erro de pertinência, dado que x é um elemento e B um conjunto; e

Sejam A e B conjuntos não vazios, temos que: A ⊂ B ⟹ x∈B porque se A é parte de B, então todos os seus elementos pertencem, necessariamente, a B (desenhar um diagrama de Venn torna isto imediato).

Exemplo concreto: Considere que o conjunto de felinos contém o conjunto dos gatos, isto é, F⊃G. Com 100% de certeza, podemos garantir que se um animal é um gato, então ele é um felino, mas existem felinos, por exemplo o Tigre, que não são gatos. Então, em símbolos: x∈G ∧ G⊂F⟹x∈F

4: x ∈ A ∧ x ∈ B ⟺ x ∈ A ∪ B

"Se, e somente se, x pertence a A e x pertence a B, então x pertence à união de A e B"

Note que todo elemento que pertence à interseção dos conjuntos pertence, necessariamente, à união, mas nem todo conjunto da união pertence, necessariamente, à interseção. (Novamente, o uso do diagrama de Venn facilita muito na visualização)

Exemplo concreto: Alguns animais, como o guepardo, são ótimos corredores, atingindo 110km/h em 3 segundos; outros, como a águia-real, conseguem atingir uma velocidade de até 320km/h quando mergulham no ar para caçar sua presa. Se R for o conjunto dos animais velozes e F o dos felinos, guepardos serão felinos e serão velozes; a união dos dois conjuntos é a união dos felinos com todos os outros animais velozes existentes, independentemente da espécie. Mas note que a águia-rei pertence à união e, entretanto, não é um felino. Em símbolos, teríamos corretamente:

x ∈ R ∧ x ∈ F ⇒ x ∈ R ∪ F

por ReplayBr Sáb 15 Jul 2023, 05:20

Pelo que eu entendi é isso:

por Lucas_DN684 Sáb 15 Jul 2023, 06:06

Exatamente. Veja que existe uma relação muito forte entre lógica e conjuntos, como ficou implícito neste tópico. Portanto, a fins de aprofundamento, recomendo o seguinte vídeo, caso seja de seu interesse:

por ReplayBr Sáb 15 Jul 2023, 07:44

Conjuntos - Implicação. 6K4QYHP4HPd5v0uHv5jkAAAAASUVORK5CYII=

14 Gabarito é falso.

Pelo que eu entendi, a intersecção x e A $Conjuntos - Implicação. 4a0aa0a00bf898f3b183badd63cb962860017698$ B vai deixar toda area da figura pintada menos a Cruz.
Ai pelo que entendi o x pode estar dentro de toda area pintada.
Mas se ele for complementar de A e B ao mesmo tempo não seria possível. Pois se x pertence ao A complementar ele não pode aparecer em B complementar.
É isso ?

Esse aqui eu fiquei em dúvida. Pensei assim, mas ainda to confuso.