Retas e planos- Geometria Análitica Paulo Winterle

[size=30]Calcular os valores de m e n para que a reta r: y=2x-1 [/size]
[size=30]   z=-x+m[/size]
[size=30]Esteja contida no plano 5x+ny-z+2=0[/size]

Se [latex] x = \gamma [/latex], Temos [latex]y =2\gamma -1 [/latex] e [latex] z = m-\gamma[/latex]. Portanto a reta r está definida por: [latex] \begin{cases} x = \gamma\\~\\ y = 2\gamma-1 \\~\\ z = m-\gamma \end{cases}[/latex]. Em forma vetorial: [latex] r: X = (0,-1,m) + \lambda (1,2,-1)[/latex]. Uma reta está contida num plano quando seu vetor diretor é perpendicular ao vetor normal do plano e um de seus pontos pertence ao plano.

O vetor normal ao plano [latex] 5x+ny-z+2=0[/latex] é [latex] \vec{v} = (5,n,-1)[/latex] e o vetor diretor da reta é [latex] \vec{w} = (1,2,-1)[/latex]. Portanto temos [latex]v\cdot w = 0 \implies 5+2n+1 = 0 \implies n = -3 [/latex].

Sabemos que [latex] P = (0,-1,m)[/latex] pertence a reta. Para a reta estar contida no plano, P deve estar contido no plano, portanto [latex] 3 -m+2=0 \implies m = 5 [/latex] .