Questão 34, "vetores e geometria analítica", Winterle

Dados o ponto A (3, 4, -2) e a reta 

r: { x=1+t  ,  y=2-t  ,  z=4+2t  }

a) determinar as equações paramétricas da reta que passa por A e é perpendicular a r;  GAB:  s : { x=3-2h  ,   y=4   ,   z=-2+h }
b) calcular a distância de A a r;  GAB: √20
c) determinar o ponto simétrico de A em relação a r.  GAB:  (-5, 4, 2)

a) Seja I = (1+m, 2-m, 4 + 2m) o ponto de interseção entre as retas. Por definição, AI deve ser perpendicular ao vetor diretor da reta r. Esse vetor diretor tem como componentes os valores que acompanham os parâmetros, i.e.: r=(1,-1,2).

AI = I - A = (1+m-3. 2-m-4, 4 + 2m +2) = (m-2,-2-m, 2m+6)

Perpendicularidade: <AI,r> = 0

(m-2)(1) + (-2-m)(-1) + (2m+6)(2) = 0
m - 2 + m + 2 + 4m + 12 = 0
6m = -12 → m = -2

AI = (-4,0,2) = (-2,0,1)

A equação da reta será: s = A + hAI. 

b) Inicialmente encontre um ponto qualquer de r. Q=(1,2,4) serve, fazendo t = 0. Em seguida, calcule o vetor AQ = Q - A. A distância será dada por:

[latex]d =\frac{\|\vec{AQ}\times \vec{r}\|}{\|\vec{r}\|}[/latex]

Onde ||r|| é a norma("módulo") de r e ||AQ|| a norma de AQ. 

c) Veja que em a) calculamos o ponto de interseção entre as retas, ponto I. Para achar o simétrico, coloque um ponto S = (3-2s, 4,-2+2) na reta s e declare que ||SI|| = ||IA|| e resolva a equação para s. Um dos resultados levará a S = A, esse você descarta e toma o que resulta no simétrico.