Dúvida Derivadas

por Íon Ter 25 Abr 2023, 19:05

Olá, gostaria de saber como proceder nesse exercício de Derivadas:

A reta tangente ao gráfico x² -2x+8
no ponto de abscissa x=3 também é tangente ao gráfico x³+x+c de em um ponto do primeiro quadrante. Então quanto vale c?

por **Giovana Martins** Dom 30 Abr 2023, 12:47

Acho que é isso. A propósito, por algum motivo o seu post estava bloqueado. Talvez eu ou algum outro moderador tenha bloqueado o post sem querer. Pedimos desculpas, pois, salvo alguma distração, neste caso não vejo motivos para o post ter sido bloqueado.

Sendo f(x) = x² - 2x + 8, tem-se que f'(x) = 2x - 2.

A reta tangente t(x), cujo coeficiente angular é f'(3), tangencia f(x) no ponto de abscissa x = 3. Portanto:

Para x = 3, tem-se f'(3) = 4.

A ordenada do ponto de tangência é dada por f(3) = 11.

Como T(3,11) ∈ t(x), logo, t(x) = (x - x')f'(3) + y', tal que (x',y')=(3,11). Deste modo, t(x) é dada por: t(x) = 4(x - 3) + 11 = 4x - 1.

Seja T'(a,b) o ponto de tangência entre t(x) = 4x - 1 e p(x) = x³ + x + c.

Dado que p'(x) = 3x² + 1, tem-se que p'(x) = 4, o que implica 3x² + 1 = 4, isto é, x = ± 1, ou seja, t(x), possivelmente, tangencia p(x) nos pontos de abscissa x = ± 1.

A ordenada do ponto de tangência entre t(x) e p(x) é obtida por t(1) = 3 e t(-1) = - 5.

Logo, p(1) = 3 e p(-1) = - 5, o que nos leva a c = 1 ou c = - 5 (não convém).

Então p(x) = x³ + x + 1 e o ponto T'(a,b) = T'(1,3), além de c = 1.

Representação gráfica: