Duvida Derivadas

por lucasdemirand Ter 20 Ago 2013, 18:51

Olá amigos, estou com uma duvida em como resolver a seguinte derivada, quem puder me ajudar agradeço.
calcule a derivada de :
Duvida Derivadas Ca9e556c659dea4c4913830549938038

Duvida Derivadas Ca9e556c659dea4c4913830549938038

não consigo encontrar a derivada, devo proceder de que forma para o seu calculo

por **Euclides** Ter 20 Ago 2013, 19:06

Um recurso para derivadas com expoentes é tomar logarítimos

$\\y=\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]^3\\\ln(y)=\ln\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]^3 \\\ln(y)=3\ln\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]\\\\D[\ln(y)]=3D\left [ \ln\left [ \ln(x).\tan(x) \right ] \right ]\\\\\frac{y'}{y}=\frac{3D\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]}{\ln(x).\tan(x)}$

usando a regra do produto no numerador à direita

$\\\frac{y'}{y}=\frac{3\left [ \frac{1}{x}.\tan(x)+\ln(x).\sec^2(x) \right ]}{\ln(x).\tan(x)} \\\\y'=y\cdot\frac{3\left [ \frac{1}{x}.\tan(x)+\ln(x).\sec^2(x) \right ]}{\ln(x).\tan(x)}$

substituindo y

$\\y'=\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]^3\cdot\frac{3\left [ \frac{1}{x}.\tan(x)+\ln(x).\sec^2(x) \right ]}{\ln(x).\tan(x)} \\\\\\\boxed{y'=3\left [ \ln(x).\tan(x) \right ]^2\times \frac{1}{x}.\tan(x)+\ln(x).\sec^2(x)}$

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