Dinamica plano inclinado

Determine o valor da força F que atua sobre o móvel de massa M, paralelamente ao plano inclinado para que o fio que suspende a pequena esfera de massa m fique na horizontal. Despreze atritos e a gravidade do local é g


resposta: F = (M+m)g(1/sen θ -sen θ)

Minha resolução foi
T senθ=mgcosθ
Tcosθ=ma
a = gcos²θ/senθ

F + (M+m)gsenθ=(M+m)a
F= (M+m)g(1/senθ -2senθ)

Alguém pode me dizer o que fiz de errado? Obrigado

Desenhe o diagrama de forças.

Decomponha a força peso em duas componentes:
Peso de M: Mg, na direção perpendicular ao plano inclinado.
Peso de m: mg, na direção perpendicular ao fio.


Analise as forças na direção paralela ao plano inclinado:
F - sen(θ) * (Mg + mg) = Ma
Onde a é a aceleração do móvel na direção paralela ao plano inclinado.


Analise as forças na direção perpendicular ao plano inclinado:
cos(α) * (Mg + mg) = N
Onde N é a força normal que o plano inclinado exerce sobre o móvel.


Como o fio está na horizontal, a aceleração do móvel na direção perpendicular ao plano inclinado é nula, então:
sen(α) * (Mg + mg) = T
Onde T é a força de tração no fio.


Substituindo T, temos:
cos(α) * (Mg + mg) = N
cos(α) * (Mg + mg) = sen(α) * (Mg + mg) * g
N = (Mg + mg) * sin(α) * g


Substituindo N, temos:
F - sen(θ) * (Mg + mg) = Ma
F = Ma + sen(θ) * (Mg + mg)
F = (M + m)a + sen(θ) * (Mg + mg)


Usando a equação da aceleração (a = g * sen(θ) - μ * g * cos(θ)), temos:
F = (M + m) * (g * sen(θ) - μ * g * cos(θ)) + sen(θ) * (Mg + mg)
F = (M + m) * (g * sen(θ) - μ * g * cos(θ)) + sen(θ) * (Mg + mg) mas μ=0.
F = (M + m) * (g * sen(θ)) + sen(θ) * (Mg + mg)
F = g * sen(θ) * (M + m) + sen(θ) * (Mg + mg)
F = sen(θ) * (g(M + m) + Mg + mg)
F = sen(θ) * (gM + gm + Mg + mg)
F = sen(θ) * g * (M + m) + sen(θ) * g * (M + m)
F = (M + m)g * (1/sen(θ) - sen(θ))

Cobas escreveu:Minha resolução foi
T senθ=mgcosθ
Tcosθ=ma
a = gcos²θ/senθ

F + (M+m)gsenθ=(M+m)a
F= (M+m)g(1/senθ -2senθ)

Alguém pode me dizer o que fiz de errado? Obrigado

Na sua resolução, você utilizou a equação Tcosθ=ma para obter a aceleração a do sistema, porém essa equação está relacionada apenas ao movimento da esfera de massa m. Para obter a equação de movimento do sistema como um todo, é preciso levar em consideração a força F aplicada no bloco de massa M. Assim, a equação correta para o movimento do sistema é:
F - Tsenθ = (M+m)a


Substituindo a equação Tsenθ=mgcosθ, temos:
F = (M+m)g(senθ/cosθ - cosθ)


Simplificando, obtemos:
F = (M+m)g(1/senθ - senθ)

Analise as forças na direção paralela ao plano inclinado:
F - sen(θ) * (Mg + mg) = Ma
Onde a é a aceleração do móvel na direção paralela ao plano inclinado

Não entendi muito bem essa parte: se a força F e a componente do peso estão na mesma direção e sentido, por que estão sendo subtraídas?

Cobas escreveu:Analise as forças na direção paralela ao plano inclinado:
F - sen(θ) * (Mg + mg) = Ma
Onde a é a aceleração do móvel na direção paralela ao plano inclinado

Não entendi muito bem essa parte: se a força F e a componente do peso estão na mesma direção e sentido, por que estão sendo subtraídas?

Você tem razão. Na verdade, a força F ajuda o móvel a escorregar o plano a favor da gravidade, então na equação da direção paralela ao plano inclinado teríamos:
F + sen(θ) * (Mg + mg) = Ma
Onde a é a aceleração do móvel na direção paralela ao plano inclinado.


Substituindo a equação da aceleração (a = g * sen(θ) - μ * g * cos(θ)), temos:
F + sen(θ) * (Mg + mg) = (M + m) * (g * sen(θ) - μ * g * cos(θ))


Isolando F, temos:
F = (M + m)g(1/senθ - μcosθ - senθ)


Portanto, a resposta correta para a força F é:
F = (M + m)g(1/senθ - μcosθ - senθ), porém como não temos atrito,
F = (M + m)g(1/senθ - senθ)

Se F+g(M+m)senθ = g(M+m)senθ -μg(M+m)cosθ , teríamos que F = 0, não?
E por que pode-se concluir que a = gsenθ? Não entendi muito bem essa parte também

A equação da aceleração é a = g * sen(θ) - μ * g * cos(θ) quando há atrito, mas no caso em questão, o problema pede para desprezar o atrito. Nesse caso, a aceleração na direção paralela ao plano inclinado é simplesmente a componente da aceleração da gravidade na mesma direção, que é a = g * sen(θ).