vetores

A figura a seguir mostra um vetor A que parte do ponto de tangência cartesiano da reta que passa pelos pontos (0,10) e (6,0) a um quarto de circunferência centrado na origem do sistema. Qual o vetor unitário na direção do vetor A?

 https://servimg.com/view/20407644/15

resposta: [latex]-\frac{1}{\sqrt{34}}(5\hat{i}+3\hat{j})[/latex]

Esse tipo de questão tem muitas formas de se resolver. Se eu estiver usando algum conteúdo que vc não souber, pode falar pporque há outras maneiras

O vetor A é perpendicular a reta. Um possível vetor diretor da reta é

\(B = (0,10) - (6,0) = (-6,10) = -6 \hat i + 10 \hat j \)

Lembrando que o vetor \( -y \hat i + x \hat j\) é perpendicular a \( x \hat i +  y \hat j\) segue que A é paralelo a \( -10 \hat i - 6 \hat j\). Como queremos unitário temos:

\( || -10 \hat i - 6 \hat j || = \sqrt{10^2 + 6^2} = 2 \sqrt{34} \implies  \dfrac{1}{2 \sqrt{34}} (-10 \hat i - 6 \hat j) = \boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{34}} (5 \hat i + 3 \hat j)}\)

DaoSeek escreveu:Esse tipo de questão tem muitas formas de se resolver. Se eu estiver usando algum conteúdo que vc não souber, pode falar pporque há outras maneiras

O vetor A é perpendicular a reta. Um possível vetor diretor da reta é

\(B = (0,10) - (6,0) = (-6,10) = -6 \hat i + 10 \hat j \)

Lembrando que o vetor \( -y \hat i + x \hat j\) é perpendicular a \( x \hat i +  y \hat j\) segue que A é paralelo a \( -10 \hat i - 6 \hat j\). Como queremos unitário temos:

\( || -10 \hat i - 6 \hat j || = \sqrt{10^2 + 6^2} = 2 \sqrt{34} \implies  \dfrac{1}{2 \sqrt{34}} (-10 \hat i - 6 \hat j) = \boxed{-\dfrac{1}{\sqrt{34}} (5 \hat i + 3 \hat j)}\)

Amanhã irei refazê-la e te dou o feedback.

DaoSeek escreveu:O vetor A é perpendicular a reta. Um possível vetor diretor da reta é

\(B = (0,10) - (6,0) = (-6,10) = -6 \hat i + 10 \hat j \)

Lembrando que o vetor \( -y \hat i + x \hat j\) é perpendicular a \( x \hat i +  y \hat j\) segue que A é paralelo a \( -10 \hat i - 6 \hat j\). Como queremos unitário temos:

Olá. Não entendi essa parte.
O que seria vetor diretor? E pq esses vetores são perpendiculares e paralelos?

Vetor diretor de uma reta é um vetor nao nulo que está na mesma direção da reta. Em outras palavras é um vetor paralelo a reta. Por exemplo, em R², para a reta y = x, um possível vetor diretor seria v = (1,1). Mas sempre existem infinitos vetores diretores, qualquer multiplo nao nulo de v também é. Por exemplo, (2,2) ou (-3,-3) são vetores diretores dessa reta.

Dada uma reta, uma maneira de obter um vetor diretor é subtrair dois pontos que estão nessa reta. Na questão dada, sabemos que a reta passa pelos pontos (0,10) e (6,0). Isso implica que o vetor B que calculei é vetor diretor. O vetor B é justamente o vetor começando em (6,0) e terminando em (0,10).

De qualquer forma, vc nao precisa falar em vetor diretor, o importante é observar que B tem a direção da reta. Ou seja, B e A são perpendiculares. Como nao precisamos obter o módulo de A, apenas sua direção e sentido, basicamente queremos uma maneira de encontrar um vetor perpendicular a B. Agora o truque é observar que isso é facil de fazer em R², basta trocar as coordenadas, invertendo o sinal de uma delas. Na figura que coloquei abaixo, repare que se v for o vetor xi + yj, então o vetor w = -yi +xj é justamente a rotação de v em 90°. Ou seja, temos uma maneira de encontrar um vetor perpendicular:



B = (-6,10) ---> trocando as coordenadas de posição e trocando o sinal da "coordenada y" ficamos com (-10,-6). Ou seja, esse vetor está na direção do A. Daí basta normalizar