FME Q378 letra g) Gráfico da função modular

Seja f(x) = ||x - 3| - |2x + 1|| = |g(x)|.

Vamos tratar primeiramente de g(x) = |x - 3| - |2x + 1|, pois após isso tudo fica fácil.

Por definição:

|x - 3| = x - 3, se x ≥ 3

|x - 3| = - x + 3, se x < 3

|2x + 1| = 2x + 1, se x ≥ - 0.5

|2x + 1| = - 2x - 1, se x < - 0.5

Logo, temos três situações a serem analisadas, quais sejam:

Caso 1: x < - 0.5

Caso 2: - 0.5 ≤ x < 3

Caso 3: x ≥ 3

Se x < - 0.5, tem-se: g(x) = |x - 3| - |2x + 1| = - x + 3 - (- 2x - 1) = x + 4

Se - 0.5 ≤ x < 3, tem-se: g(x) = |x - 3| - |2x + 1| = - x + 3 - (2x + 1) = - 3x + 2

Se x ≥ 3, tem-se: g(x) = |x - 3| - |2x + 1| = x - 3 - (2x + 1) = - x - 4

O esboço do gráfico de g(x) para as situações indicadas em vermelho é dado por:



Agora entra a parte que eu disse que tudo fica fácil. Quando temos uma função f(x) = |g(x)|, para plotarmos esta função, basta rebater os trechos de g(x) que estão abaixo do eixo x para cima do eixo x, de forma simétrica em relação ao eixo x.



Veja a simetria que eu indiquei acima, porém, em forma gráfica. Note que a resposta da questão é apenas o gráfico de coloração azul. Deixei o gráfico em vermelho indicado para que você pudesse ver a simetria que eu indiquei, mas ele não faz parte da resposta.

De qualquer forma, caso fique difícil de enxergar a simetria, basta em então desenvolvermos a questão de forma analítica até chegarmos em uma situação na qual possamos escrever as expressões que representam a função de uma forma mais simples para podermos esboçar o seu gráfico.

Por exemplo:

Se x < - 0.5, tem-se g(x) = x + 4, logo, f(x) = |x + 4|.

Se - 0.5 ≤ x < 3, tem-se g(x) = - 3x + 2, logo, f(x) = |-3x + 2|.

Se x ≥ 3, tem-se, g(x) = - x - 4, logo, f(x) = |- x - 4|.

Daí é só esboçar o gráfico.

A propósito, o gabarito que você indicou está incorreto.

Disponha!