equações

Considerando a expressão 9x^2 + 4 y^2 -6x -20y+26=0, com x e y sendo números reais, o valor de y-x é :

Olá.

Reescrevendo a equação:

[latex]9x^2 + 4y^2 - 6x - 20y + 26 = 0 \Rightarrow (3x)^2 + (2y)^2 - 6x - 20y + 5^2 + 1^2 = 0 \Rightarrow (3x)^2 + 1^2 - (2)(3x) + 5^2 + (2y)^2 - 2(5)(2y) = 0 \Rightarrow (3x - 2)^2 + (2y - 5)^2 = 0 \ (i)[/latex] 

É importante saber que se [latex]x[/latex] é um número real, então [latex]x^2 \geq 0[/latex]. Logo, para que (I) seja verdadeira devemos ter [latex](3x - 2) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{2}{3} [/latex]
 e 
[latex](2y - 5) = 0 \Rightarrow y = \dfrac{5}{2}[/latex]. Portanto, [latex]y - x = \dfrac{15 - 4}{6} = \dfrac{11}{6}[/latex]

A resposta do colega à questão está incorreta, o gabarito é 13/6 conforme o seguinte cálculo:

9x^2 + 4y^2 - 6x - 20y + 26=0

9x^2 - 6x + 4y^2 - 20y = -26 

[9x^2 - 6x +(1^2) ]+ [4y^2 - 20y + (5^2)] = -26 +(1^2) +(5^2)

[(3x-1)^2] + [(2y-5)^2] = 0

Note que há uma soma de dois termos elevados ao quadrado dando zero, entretanto, restringindo-se aos números reais, nenhum número elevado ao quadrado resulta em negativo, logo, significa que a única possibilidade é a soma de nulos resultando em zero.( + com + > 0; - com - < 0; 0 + 0=0  e + com - depende dos valores adotados, porém descartamos os casos com negativo pois os termos são elevados ao quadrado). Assim, respeitando a restrição de que os números são números reais, o único caso é que os dois termos sejam iguais a zero, pois 0 + 0= 0. Assim, temos: 
(3x-1)^2 =0 e (2y-5)^2 =0

Para o primeiro: 
(3x-1)^2 =0
3x-1=0
3x=1
x=1/3

Para o segundo: 
(2y-5)^2 =0
2y-5=0
2y=5
y=5/2

A questão pede y-x, logo, tem-se: [5/2 - 1/3] que é igual a 13/6.

A. Levy Tavares escreveu:A resposta do colega à questão está incorreta, o gabarito é 13/6 conforme o seguinte cálculo:

9x^2 + 4y^2 - 6x - 20y + 26=0

9x^2 - 6x + 4y^2 - 20y = -26 

[9x^2 - 6x +(1^2) ]+ [4y^2 - 20y + (5^2)] = -26 +(1^2) +(5^2)

[(3x-1)^2] + [(2y-5)^2] = 0

Note que há uma soma de dois termos elevados ao quadrado dando zero, entretanto, restringindo-se aos números reais, nenhum número elevado ao quadrado resulta em negativo, logo, significa que a única possibilidade é a soma de nulos resultando em zero.( + com + > 0; - com - < 0; 0 + 0=0  e + com - depende dos valores adotados, porém descartamos os casos com negativo pois os termos são elevados ao quadrado). Assim, respeitando a restrição de que os números são números reais, o único caso é que os dois termos sejam iguais a zero, pois 0 + 0= 0. Assim, temos: 
(3x-1)^2 =0 e (2y-5)^2 =0

Para o primeiro: 
(3x-1)^2 =0
3x-1=0
3x=1
x=1/3

Para o segundo: 
(2y-5)^2 =0
2y-5=0
2y=5
y=5/2

A questão pede y-x, logo, tem-se: [5/2 - 1/3] que é igual a 13/6.

Perfeito! Fiz uma confusão com o (3x - 2), o correto seria (3x - 1).