(UnB-DF) - caixa com bolas

por Paulo Testoni Sáb 12 Nov 2011, 21:05

(UnB-DF) - Se duas bolas são retiradas ao acaso, sem reposição, de uma caixa contendo somente bolas pretas e vermelhas, a probabilidade de que sejam ambas vermelhas é 1/3. Recolocando essas bolas na caixa, se três bolas são retiradas ao acaso, também sem reposição, a probabilidade de que todas sejam vermelhas é 1/6. Nessas condições, calcule a quantidade de bolas que há nessa caixa.

a) 6

b) 8

c) 12

d) 10

e) 20

por ferrreira Sáb 12 Nov 2011, 22:19

Chamarei Bolas Vermelhas de "x" e o Total de Bolas de "y".

Da primeira situação:

1/3 = x/y*(x-1)/(y-1) (I)

O "x" e "(x-1)" é pelo fato de que ao retirar a primeira, teriamos x bolas vermelhas. Depois teremos (x-1), já que a primeira já foi retirada. A mesma lógica serve para o total de bolas, que foi subtraido de 1 quando retiramos a segunda bola vermelha (menos uma bola).

Da segunda situação, já que retiramos 3 bolas:

1/6 = x/y*(x-1)/(y-1)*(x-2)/(y-2) (II)

Resolvendo (I):

(x² - x)/(y²-y) = 1/3

Resolvendo (II):

1/6 = (x²-x)/(y²-y)*(x-2)/(y-2)

Substituindo (I) em (II):

1/6 = 1/3*(x-2)/(y-2)
x=(y+2)/2 (III)

Substituindo (III) em (I):

(y+2/2)²-(y+2/2)/(y²-y) = 1/3
y² - 10y = 0
y = 10 Bolas.

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