Achar a altura do triângulo relativa a um dos lados

Seja \(\theta\) o ângulo entre os vetores \( \vec{CA}\) e \(\vec{CB} \). Assim,
\[
h = AH = AC \sin \theta
\]
O grande problema reside no cálculo do módulo do \( \sin \theta\), podemos encontrá-lo por meio do produto escalar e usar a RFT:
\[
\cos \theta = \frac{ \langle \vec{CA} , \vec{CB} \rangle}{AC \cdot BC} = \frac{\langle (-1,3,-1) , (-3,2,1) \rangle}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}} \implies |\sin \theta| = \sqrt{1 - \frac{64}{154} } = 3 \cdot \sqrt{ \frac{5}{11 \cdot 7}}
\]
Finalmente,
\[
\vec{CA} = (-1,3,-1) \implies AC = \sqrt{1 + 9 + 1 } = \sqrt{11} \implies h = AH = \sqrt{11} \cdot 3 \cdot \sqrt{ \frac{5}{11 \cdot 7}} = 3 \sqrt{ \frac{5}{7} } = \frac{3 \sqrt{35}}{7}
\]
O erro de sua solução reside na aplicação do Teorema de Pitágoras e o gabarito está correto.

al171 escreveu:Seja \(\theta\) o ângulo entre os vetores \( \vec{CA}\) e \(\vec{CB} \). Assim,
\[
h = AH = AC \sin \theta
\]
O grande problema reside no cálculo do módulo do \( \sin \theta\), podemos encontrá-lo por meio do produto escalar e usar a RFT:
\[
\cos \theta = \frac{ \langle \vec{CA} , \vec{CB} \rangle}{AC \cdot BC} = \frac{\langle (-1,3,-1) , (-3,2,1) \rangle}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}} = \frac{8}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{14}} \implies |\sin \theta| = \sqrt{1 - \frac{64}{154} } = 3 \cdot \sqrt{ \frac{5}{11 \cdot 7}}
\]
Finalmente,
\[
\vec{CA} = (-1,3,-1) \implies AC = \sqrt{1 + 9 + 1 } = \sqrt{11} \implies h = AH = \sqrt{11} \cdot 3 \cdot \sqrt{ \frac{5}{11 \cdot 7}} = 3 \sqrt{ \frac{5}{7} } = \frac{3 \sqrt{35}}{7}
\]
O erro de sua solução reside na aplicação do Teorema de Pitágoras e o gabarito está correto.

Obrigado pela resposta!
Resolvi novamente hoje, e realmente o modo como fiz está correto, só cometi o erro de tirar o 7 de dentro da raiz sem querer. Nao explicitei o uso da Fórmula da projeção ortogonal: Projeção ortogonal de CA sobre CB = (prod. escalar entre CA e CB)vezes CB/|CB|