Triângulo com lados e altura consecutivos

por lookez Sex 08 Nov 2019, 07:10

Num triângulo acutângulo ABC, uma das alturas e os três lados são representados por números inteiros e consecutivos. Calcular a medida do menor lado de seu triângulo órtico.

a) 75/13 cm
b) 70/13 cm
c) 68/13 cm
d) 42/13 cm
e) 135/13 cm

Não entendi como encontrar a altura e os lados do triângulo,

Resolução:

Triângulo com lados e altura consecutivos 20191110

por AlvaroLSL Dom 19 Jul 2020, 12:58

Como uma das alturas e os três lados são representados por números inteiros e consecutivos, a sequência (h, l1, l2, l3) pode ser escrita na forma: (x - 2, x - 1, x, x + 1).

É sabido que a fórmula de Heron nos dá a área de um triângulo em função dos seu lados. Assim:

[latex]S(ABC) = \sqrt{\frac{(x-1+x+x+1)}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x+1))}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x))}{2}\frac{(x-1+x+x+1-2(x-1))}{2}}[/latex]

[latex]S(ABC) = \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}}[/latex]

A área de um triângulo também pode ser calculada por:

[latex]S(ABC) = \frac{(base)(altura)}{2}[/latex]

Tem-se, então, três possibilidades (duas falsas e uma verdadeira):

[latex]S(ABC) = \frac{(x-1)(x-2)}{2}[/latex]
[latex]S(ABC) = \frac{(x)(x-2)}{2}[/latex]
[latex]S(ABC) = \frac{(x+1)(x-2)}{2}[/latex]

Para poupar trabalho, usarei a segunda , já que as outras não darão frutos.

Desse modo:

[latex]\left\{\begin{matrix} S(ABC) = & \frac{(x)(x-2)}{2} \\ S(ABC) = & \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}} \end{matrix}\right.[/latex]

[latex]\Leftrightarrow \frac{(x)(x-2)}{2} = \sqrt{\frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}}[/latex]

[latex]\Rightarrow \frac{(x)^2(x-2)^2}{4} = \frac{(3x)(x-2)(x)(x+2)}{16}[/latex]

[latex]\Rightarrow 4(x)^2(x-2)^2 - (3x)(x-2)(x)(x+2) = 0[/latex]

[latex]\Rightarrow (x)^2(x-2)[4(x-2) - 3(x+2)] = 0[/latex]

Logo: ou [latex] (x)^2(x-2) = 0 [/latex] (não convém, já que x e x-2 são lados do triângulo, logo, não nulos), ou [latex] \Rightarrow 4x - 8 - 3x - 6 = 0 [/latex].

[latex]\Rightarrow x=14[/latex]

Se x=14, a sequência (h, l1, l2, l3) é igual à sequência (12, 13, 14, 15).

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