Permutação circular

De quantas maneiras podemos sentar 10 casais em torno de uma mesa redonda de modo que dois dos pares estejam separados e os outros pares juntos?

Começando. Sejam os dez casais:

(A,a), (B,b), (C,c), (D,d), (E,e), (F,f), (G,g), (H,h), (I,i), (J,j)

Total de possibilidades de casais que vão ficar juntos:

n = C(10, 2) --> n = 45 ---> Sejam, por exemplo (A,a) e (B,b) os separados

Permutação circular dos 8 casais juntos = Pc(8) = (8 - 1)! = 7! = 5 040

Lembre-se que cada casal junto pode inverter sua posição. Ex.: Cc e cC

Oi. Eu fiz assim:
Combinação circular de 8 casais : 7! = 5040 como o casal pode trocar de lugar então : 5040 * 2^8 = 1.290.240
Como 4 pessoas devem ficar separadas então fiz uma combinação circular dessas 4 pessoas e ficou 3!=6 
total= 1.290.240 * 6 = 7.741.440  
Só que pensei que isso  ocorre quando os casais (Aa) e (Bb) são separados, mas podemos separar por exemplo (cc) e (Dd) .Então tenho que multiplicar por 45?  Desculpe, fiquei confusa. Pode me esclarecer?

O caso que eu mostrei só vale para Aa e Bb separados.
Para calcular o total, vc deve multiplicar por 45.
Tens o gabarito?

Boa Tarde. Não entendi muito bem o gabarito. O Gabarito é o seguinte:
Destes 10 casais, vamos considerar dois que desejamos dispor separadamente na mesa redonda, isto nos dá C_10,2 escolhas. Agora, posicionamos os outros 8 casais que devem sentar-se juntos na mesa redonda cujo o número de maneiras distintas de sentarem-se é dado pela permutação circular de 8 elementos, i.e., P C8 = (8−1)! = 7!. Lembre que precisamos considerar as permutações entre os pares, ou seja, P2 = 2!, para cada casal. Assim, pelo Princípio Multiplicativo temos, até então, 2⁸7!C_10,2. Agora queremos posicionar os outros dois casais de forma que fiquem separados. Temos duas formas de fazer isto.
• Dentre as 8 posições possíveis que separam os casais já posicionados, podemos escolher uma única para posicionar os dois casais que devem estar separados. Isto pode ser feito de C_8,1 formas distintas. Em seguida, vamos posicionar as 4 pessoas que compõem os dois casais que devem estar separados, tendo cuidado para separar os casais. Como qualquer pessoa pode ocupar a primeira das quatro posições, temos 4 escolhas. Entretanto, para a segunda posição, precisamos escolher alguém que seja do outro casal, tendo, portanto, 2 opções. Note que, para a próxima posição, só temos uma opção, pois deve ser o par da primeira pessoa já posicionada, e a quarta e última posição fica automaticamente determinada. Logo, pelo P.M., temos C_8,1 × 4 × 2 de posicionar os quatro escolhidos num mesmo espaço entre os outros casais. E, novamente, pelo P.M., temos 2⁸7!C_10,2 C _8,1 × 4 × 2 formas distintas de posicionar todos à mesa seguindo as restrições impostas e de modo que os dois casais escolhidos para estarem separados não são separados por nenhum outro casal.
• Outra maneira para posicionar os casais a serem separados é considerando que pelo menos um outro casal que já está posicionado fará tal separação. Tomemos o primeiro casal, sabemos que existem 8 espaços para colocá-los entre os casais que já estão na mesa, portanto, o número de possibilidades é dado por A_8,2 . Supondo os nove casais dispostos, queremos posicionar o último casal de forma que eles fiquem separados, ou seja, temos 10 espaços disponíveis para isso, cujo número de maneiras distintas de dispô-las na mesa é A_10,2. Pelo P.M., isto nos dá A_8,2 A_10,2 possibilidades e, consequentemente, 2⁸7!C _10,2 A_8,2 A_10,2 formas distintas de posicionar todos à mesa seguindo as restrições impostas e de modo que haja pelo menos um casal separando os casais escolhidos para estarem separados à mesa. Portanto, segue do Princípio Aditivo que o número de maneiras distintas que podemos dispor numa mesa redonda 10 casais de modo que exatamente dois dos pares estejam separados e os outros pares juntos é 2⁸ 7! C_10,2 C _8,1 × 4 × 2 + 2⁸ 7! C_10,2 A_8,2 A_10,2.