Permutação circular
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Permutação circular
Em um jantar deve-se acomodar cinco pessoas ( A, B, C, D e E) em mesa circular. Sabendo-se que A e B nunca se sentam lado a lado, quantas são as maneiras de se dispor as pessoas na mesa?
R: 12
R: 12
Paulo Testoni- Membro de Honra
- Mensagens : 3408
Data de inscrição : 19/07/2009
Idade : 76
Localização : Blumenau - Santa Catarina
Re: Permutação circular
A permutação em circular é dada por P(m-1)!
a permutação total que podemos fazer nessa mesa é:
P=(5-1)!=4!=24
Agora iremos considerá AB como um único corpo. termos |AB|C,D,E--->$ corpo
Distribuindo esses 4 corpo na mesa temos
P(4-1)!=3!=6
Só que AB podem permutarem entre sí.
ou seja,
2*6=12 com eles juntos .
As maneiras de se dispor as pessoas na mesa são:
M=24-12
M=12
a permutação total que podemos fazer nessa mesa é:
P=(5-1)!=4!=24
Agora iremos considerá AB como um único corpo. termos |AB|C,D,E--->$ corpo
Distribuindo esses 4 corpo na mesa temos
P(4-1)!=3!=6
Só que AB podem permutarem entre sí.
ou seja,
2*6=12 com eles juntos .
As maneiras de se dispor as pessoas na mesa são:
M=24-12
M=12
Re: Permutação circular
Pessoal, fiz desse modo proposto pelo colega. Mas minha primeira ideia foi usar o 2º Lema de Kaplansky.
\( K_{2(n,p)} = \frac{n}{n-p} \binom{n-p}{p} \implies K_2 = \frac{5}{3} . \binom{3}{2} = 5 \)
Por que essa ideia não funcionou? Kaplansky considera algum caso a menos?
\( K_{2(n,p)} = \frac{n}{n-p} \binom{n-p}{p} \implies K_2 = \frac{5}{3} . \binom{3}{2} = 5 \)
Por que essa ideia não funcionou? Kaplansky considera algum caso a menos?
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 374
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
Localização : Jaguariaíva - PR
Re: Permutação circular
Não sei dizer se o 2º Lema de Kaplansky se aplica à Permutação Circular.
Pesquise.
Pesquise.
Elcioschin- Grande Mestre
- Mensagens : 71438
Data de inscrição : 15/09/2009
Idade : 77
Localização : Santos/SP
Zeroberto gosta desta mensagem
Re: Permutação circular
Acho que encontrei uma justificativa. Foi a única que me veio em mente, pelo menos.
Convém usar o 2º lema de Kaplansky quando a consecutividade presente afeta a todos os elementos.
A consecutividade deste problema existe entre A e B, porque ambos não poderiam sentar um ao lado do outro. Mas essa restrição não afeta os demais elementos.
A e B não se sentam lado a lado, mas B e C podem, bem como C e D, D e E, E e A, etc.
Acredito que Kaplansky funcionaria se todos os vizinhos estivessem brigados um com o outro, como acontece nesse problema do Ime:
Mas, aqui, a maneira mais correta é fazer como a solução foi proposta, contando todos os casos e tirando as restrições.
Convém usar o 2º lema de Kaplansky quando a consecutividade presente afeta a todos os elementos.
A consecutividade deste problema existe entre A e B, porque ambos não poderiam sentar um ao lado do outro. Mas essa restrição não afeta os demais elementos.
A e B não se sentam lado a lado, mas B e C podem, bem como C e D, D e E, E e A, etc.
Acredito que Kaplansky funcionaria se todos os vizinhos estivessem brigados um com o outro, como acontece nesse problema do Ime:
Mas, aqui, a maneira mais correta é fazer como a solução foi proposta, contando todos os casos e tirando as restrições.
Zeroberto- Jedi
- Mensagens : 374
Data de inscrição : 14/12/2022
Idade : 19
Localização : Jaguariaíva - PR
Permutação CIRCULAR DESTRINCHADA
[ltr]AB -> ABCDE, ABCED, ABDCE, ABDEC, ABECD, ABEDC -> 6 [/ltr]
[ltr]A-C -> 6; A-D-> 6; A-E -> 6; Pc = 4! = 4*6 =24, ou Pc = 4!; [/ltr]
[ltr]a) A – B /3 -2-1 -> 1 *1*3*2*1 -> 1*1*3! -> 6;
b) 3 / A –B /2-1 -> 3*1*1*2*1 = 6 ; [/ltr]
c) 3 - 2 - 1 / A – B -> 3*2*1*1*1 = 6
[ltr]Teremos então 3*6 = 18 combinações possíveis, contudo não é uma mesa reta, mas circular, ou seja, a posição é em relação a um dos membros, deve ser descontado este membro. Então, teremos (n-1) *6 -> 2*6 = 12 possibilidades que serão descartadas, pois A e B estão sentados, lado a lado. [/ltr]
[ltr]Resultado será Pc = R + 12 -> 24= R+12; R= 12. [/ltr]
[ltr]A-C -> 6; A-D-> 6; A-E -> 6; Pc = 4! = 4*6 =24, ou Pc = 4!; [/ltr]
[ltr]a) A – B /3 -2-1 -> 1 *1*3*2*1 -> 1*1*3! -> 6;
b) 3 / A –B /2-1 -> 3*1*1*2*1 = 6 ; [/ltr]
c) 3 - 2 - 1 / A – B -> 3*2*1*1*1 = 6
[ltr]Teremos então 3*6 = 18 combinações possíveis, contudo não é uma mesa reta, mas circular, ou seja, a posição é em relação a um dos membros, deve ser descontado este membro. Então, teremos (n-1) *6 -> 2*6 = 12 possibilidades que serão descartadas, pois A e B estão sentados, lado a lado. [/ltr]
[ltr]Resultado será Pc = R + 12 -> 24= R+12; R= 12. [/ltr]
Hetan Atlon- Iniciante
- Mensagens : 13
Data de inscrição : 26/02/2024
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