(UERJ-2001) - probabilidade

Mais uma da UERJ pessoal! Vou por a questão e logo em seguida queria que explicassem o que fiz de errado no jeito de pensar:

Cinco casais formados, cada um, por marido e mulher, são aleoatoriamente dispostos em grupo de duas pessoas cada um.Calcule a probabilidade de que todos os grupos sejam formados por :

a)um marido e sua mulher
b)pessoas de sexos diferentes

Então, na questão a) Começo escolhendo entre 10 pessoas, então 1/10, daí já escolhida essa pessoa, só posso escolher, obrigatoriamente seu respectivo casal, então 1/1, agora tenho que escolher 1/8 já que 2 já foram escolhidas, seguindo o raciocínio, vou ter:

1/10 * 1/1 * 1/8 * 1/1 * 1/6 * 1/1 * 1/4 * 1/1 * 1/2 * 2^5 (que seria a permutação das posições, HM, MH..)

O que eu deixei passar, pessoal? Obrigado!

Gabarito Oficial:

cinco casais
homen = n1,n2,n3,n4,n5
mulher = m1,m2,m3,m4,m5

C10,2 = 10.9/2 = 45 grupos , esse eh o total de grupos q eu posso formar[

grupos com homen e mulher = 25

probabilidade de sair com sexo diferente

25/45 = 5/9
nesses 25 grupos com homen e mulher teremos todos os grupos possiveis de homen e mulher , incluindo marido e mulher
como sao 5 casais , resumindo 5 grupos

5/25 = 1/5

fiz na mao pra ve se minha conta ta certa e eu acho q ta

n1,n2,n3,n4,n5
m1,m2,m3,m4,m5

n1,m1
n1,m2
n1,m3
n1,m4
n1,m5

n2,m1
n2,m2
n2.m3
n2,m4
n2,m5

n3,m1
n3,m2
n3.m3
n3.m4
n3.m5

n4,m1
n4.m2
n4.m3
n4,m4
n4,m5

n5,m1
n5,m2
n5,m3
n5,m4
n5.m5
ate aki sao marido e mulher

n1,n2
n1,n3
n1,n4
n1,n5
n2,n3
n2,n4
n2,n5
n3,n4
n3,n5
n4,n5
m1,m2
m1,m3
m1,m4
m1,m5
m2,m3
m2,m4
m2,m5
m3,m4
m3,m5
m4,m5 , esses sao grupos aleatorios

Problemas de probabilidade são, a princípio, problemas de contagem.

Há várias formas de se contar...

Pense nos maridos como números ímpares e mulheres como seus pares seguintes:

1 2 / 3 4 / 5 6 / 7 8 / 9 10

Seriam os casais originais.

Agora coloque esses 10 números numa urna e sorteie os 10 números, sem reposição.

Podemos ter 10! resultados, que representam o nosso Universo de possibilidades.

a) Dentre elas todas, nós queremos o resultado da configuração inicial ou de suas variações:

C = {(1 2 / 3 4 / 5 6 / 7 8 / 9 10); (3 4 / 2 1 / 5 6 /10 9 / 7 8 ); ... }

Que são permutações dos 5 casais e as permutações entre marido e mulher em cada casal:

5! *(2!)⁵ = 5! * 2⁵

Então:

P(C) = n(C)/n(U) = (5! 2⁵)/10!

P(C) = (5*4*3*2 *2*2*2*2*2)/(10*9*8*7*6*5*4*3*2)

P(C) = 1/(9*7*5*3) = 1/945

P(C) = 1/945

b) Agora queremos duplas de sexos opostos, ou seja, um ímpar e um par, ou vice-versa,
em cada grupo:

D = { (1 2 / 3 4 / 5 6 / 7 8 / 9 10); (1 8 / 4 5 / 2 9 / 10 7 / 6 3); ... }

Vamos contar o n(D):

10*5*8*4*6*3*4*2*2*1 : 5! * 10*8*6*4*2
__ _ / _ _ /_ _ / _ _ / _ _


n(D) = 5! * 5! * 2⁵

P(D) = n(D)/n(U) = (5! * 5! * 2⁵)/(10!)

P(D) = (5*4*3*2*10*8*6*4*2)/(10*9*8*7*6*5*4*3*2)

P(D) = 8/63

Por Probabilidades

a) P(C) = P(H)*P(E|H)*P(H)*P(E|H)*P(H)*P(E|H)*P(H)*P(E|H)*P(H)*P(E|H)* 2⁵

Onde "E" é esposa do homem "H"

P(C) = (5/10)(1/9) (4/8 )(1/7) (3/6)(1/5) (2/4)(1/3) (1/2)(1/1) *2⁵

P(C) = 1/945

b) P(D) = P(H)*P(M|H)*P(H)*P(M|H)*P(H)*P(M|H)*P(H)*P(M|H)*P(H)*P(M|H)* 2⁵

Onde "M" é mulher.

P(D) = (5/10)(5/9) (4/8 )(4/7) (3/6)(3/5) (2/4)(2/3) (1/2)(1/1) *2⁵

P(D) = 8/63

Muito obrigado Rihan!

Esses problemas costumam ser chatinhos e eu realmente estava fazendo a proporção errada dos casais!

Valeu mesmo!

Estamos Aqui !

E Vamos Lá ! !