(fuvest-SP) polinômios e resto

Sejam r1 e r2 os restos das divisões de um polinômio p(x) por x-1 e x+1, respectivamente. Nessas condições, se R(x) é o resto da divisão de p(x) por x²-1, então R(0) é igual a:

a) r1-r2
b) (r1 + r2)/(r1*r2)
c) r1+r2
d) r1*r2
e) (r1 + r2)/2

gabarito: alternativa e

vejamos
x²-1=(x-1)(x+1)
p(x)=q(x)(x²-1)+R(x)
p(x)=q(x)(x-1)(x+1)+R(x)
Note que R(x) é da forma ax+b
p(x)=q(x)(x-1)(x+1)+ax+b

R(0)=b
Pelo teorema do resto
p(1)=r1=a+b
p(-1)=r2=-a+b

somando
b=(r1+r2)/2


Espero que seja isso e que te ajude.

Obrigado, hygorvv.

hygor, poderia me informar quando eu considero que o resto estará na forma de uma função do 1º grau ? meu livro não explicou sobre isso. e no caso, o resto (quando a questão não fornece o formato dele, como nessa questão) só pode assumir esse formato de 1º grau ou poderia assumir n graus diferentes dependendo da questão ?

Johnny, faz bastante tempo que eu não reviso a parte mais teórica sobre polinômios, por isso eu não opinarei (talvez algum membro faça isso) sobre a sua dúvida, mas eu sei que há a explicação sobre isso no Iezzi/FME que fala sobre polinômios. Tem o pdf dele na internet, dê uma procurada.

oi, giovana, tudo bem ?
felizmente eu acho que consegui entender...assim, supondo que nosso divisor seja de grau 3, no máximo que o resto poderá ser é de grau 2( ax² + bx + c), agora, se for de grau 2, no máximo que poderá ser é de grau 1 (ax + b)...foi a explicação que um amigo meu me deu, então irei validá-la até algum membro daqui do fórum dizer o contrário...a priori, acredito que seja isso mesmo.
como a questão nos deu o grau do divisor igual a 2 (x² - 1), então o resto terá grau máximo igual a 1.

qualquer coisa, vou baixar o iezzi e dar uma lida na teoria sim, muito obrigado pela sugestão 

É exatamente isto JohnnyC

perfeito, Mestre, muito obrigado pela confirmação!!!!

Por que posso considerar

R(0) = b sendo R(0) = q(0)(0-1)(0+1) + a0 + b?
 
O que me garante que q(0) = 0 também? 

Obrigado

Suponha R(x) = m.x³ + n.x² + p.x + b (poderia ser outro qualquer de grau superior)

x = 0 ---> R(0) = m.0³ + n.0² + p.0 + b ---> R(0) = b