Análise combinatória
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Análise combinatória
por Vipir2 Qui 14 Jul 2022, 14:30
Bete e Beto substituem as letras da palavra KANGAROO por algarismos, de forma que o número resultante seja um múltiplo de 11. Eles substituem diferentes letras por diferentes algarismos e a mesma letra pelo mesmo algarismo, sendo K diferente do zero. Bete obtém o maior número possível enquanto que Beto obtém o menor número possível. Qual é o algarismo que substitui a mesma letra nos dois casos?
a)0
b)3
c)4
d)5
e)6
Gabarito: D
a)0
b)3
c)4
d)5
e)6
Gabarito: D
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Re: Análise combinatória
por Elcioschin Qui 14 Jul 2022, 18:45
Para um número ser divisível por 11
Sejam Si a soma dos algarismos de ordem ímpar e Sp a soma dos de ordem par
Calcule ∆S = |Si - Sp|
Para o número ser divisível por 11 ---> ∆S = 0, 11, 22, 33, etc.
O maior número deve começar por K = 9, depois A = 8, depois N = 7, G = 6 ....
O menor número deve começar por K = 1, depois A = 0 depois N = 2, G = 3 ....
Sejam Si a soma dos algarismos de ordem ímpar e Sp a soma dos de ordem par
Calcule ∆S = |Si - Sp|
Para o número ser divisível por 11 ---> ∆S = 0, 11, 22, 33, etc.
O maior número deve começar por K = 9, depois A = 8, depois N = 7, G = 6 ....
O menor número deve começar por K = 1, depois A = 0 depois N = 2, G = 3 ....
Última edição por Elcioschin em Sex 15 Jul 2022, 12:28, editado 1 vez(es)
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Re: Análise combinatória
por petras Sex 15 Jul 2022, 11:58
Pela regra de divisibilidade por 11, um número da forma “KANGAROO” será divisível por 11 se, e somente se, K-A+ N- G+ A- R+ O- O= K+ N- G- R=11 n, para algum n inteiro, ou seja, se
K +N =G +R +11n para algum n .
Agora, verifiquemos qual o menor e o maior número deste formato. Tentemos minimizar o número fazendo-o começar com 102 (“KAN” = 102). Assim, K+ N=3 , logo G+ R pode ser 3 ou 3 +11 = 14. Como G+R=3 implica {G, R}={1,2} ou{G,R}= {0,3} e os números 0, 1 e 2 já foram utilizados, temos que G+R=14 e o menor valor de G possível é 5. Assim, já temos determinados os seis primeiros dígitos (“KANGAR” = 102509) e escolhendo o menor dígito possível para O , temos que o menor número da forma “KANGAROO” múltiplo de 11 é 10250933. Já ao tentar maximizar o número, fazendo-o começar com 987 (“KAN” = 987), temos K+N=16 , logo G+ R =16 ou G+R=16-11= 5 . Analogamente, G+R=16 implica {G, R}={7,9} ou {G,R}={ 8}, e estes algarismos já foram utilizados. Assim, G+R=5 e o maior valor para G é 5. Assim, o maior múltiplo de 11 da forma “KANGAROO” é 98758066. Comparando os dois números, o único algarismo a ser utilizado para uma mesma letra é o 5, que aparece em G nos dois casos.
(Solução: portalobmep)
K +N =G +R +11n para algum n .
Agora, verifiquemos qual o menor e o maior número deste formato. Tentemos minimizar o número fazendo-o começar com 102 (“KAN” = 102). Assim, K+ N=3 , logo G+ R pode ser 3 ou 3 +11 = 14. Como G+R=3 implica {G, R}={1,2} ou{G,R}= {0,3} e os números 0, 1 e 2 já foram utilizados, temos que G+R=14 e o menor valor de G possível é 5. Assim, já temos determinados os seis primeiros dígitos (“KANGAR” = 102509) e escolhendo o menor dígito possível para O , temos que o menor número da forma “KANGAROO” múltiplo de 11 é 10250933. Já ao tentar maximizar o número, fazendo-o começar com 987 (“KAN” = 987), temos K+N=16 , logo G+ R =16 ou G+R=16-11= 5 . Analogamente, G+R=16 implica {G, R}={7,9} ou {G,R}={ 8}, e estes algarismos já foram utilizados. Assim, G+R=5 e o maior valor para G é 5. Assim, o maior múltiplo de 11 da forma “KANGAROO” é 98758066. Comparando os dois números, o único algarismo a ser utilizado para uma mesma letra é o 5, que aparece em G nos dois casos.
(Solução: portalobmep)
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