Questão MACK

por alê; Seg 19 Set 2011, 19:38

(MACK) Sejam f, g e h funções de A em A, onde A = [-1; 1], assim definidas:

f(x) = sen x; g(x) = sen πx; h(x) = sen πx/2

Podemos afirmar que:

a) todas são inversíveis.
b) todas são sobrejetoras.
c) só uma é injetora.
d) só uma é sobrejetora.
e) só uma é injetora e sobrejetora.

Se alguém puder ajudar, ficaria muito grata.

por rihan Sáb 01 Out 2011, 09:08

Recordar é viver...

Mackenzie - Funções Circulares Inversas H8nIgwHOWUu0gAAAABJRU5ErkJggg==

Depois da recordação, Vamos Lá !

Domínio e Codomínio (Contra-Domínio) f,g e h é A = [-1; 1]

(1) f(x) = sen(x)

f(1) < 1 ⇒ NÃO SOBREJETORA, pois Im(f) ⊂ A

È INJETORA pois não há sequer um f(x) que venha de 2 ou mais x diferentes.

É só exercitar umas continhas ou perceber no gráfico:

Mackenzie - Funções Circulares Inversas 8AmuVr8+Kk6ZoAAAAASUVORK5CYII=

Mackenzie - Funções Circulares Inversas 8AmuVr8+Kk6ZoAAAAASUVORK5CYII=

(2) g(x) = sen(Πx)

Mackenzie - Funções Circulares Inversas T7XhVXqceNIAAAAASUVORK5CYII=

Im(g) = A ⇒ SOBREJETORA

NÃO INJETORA pois f(-1) = f(0) = f(-1) ...

(3) g(x) = sen(Πx/2)

O Gráfico agora é por sua conta...

Sobrejetora e Injetora ou, simplesmente Bijetora

==> alternativa (e)

por fipswOw Sex 08 Jul 2022, 14:52

Sejam f, g e h funções de A em A, onde A = [-1, 1], assim definidas:

[latex]f(x) = senx; g(x) = sen\pi x; h(x) = \frac{\pi }{2}x. [/latex]

Podemos afirmar que:
a) todas são inversíveis
b) todas são sobrejetoras
c) só uma é injetora
d) só uma é sobrejetora
e) só uma é injetora e sobrejetora

Gabarito:

por **Elcioschin** Sex 08 Jul 2022, 17:52

1) y = senx ---> inversa ---> x = seny ---> y = arcsenx

2) y = sen(pi.x) ---> inv. --> x = sen(pi.y) ---> y = (1/pi).arcsen(x)

3) y = (pi/2).x ---> inversa ---> x = (pi/2).y ---> y (2/pi).x

A única bijetora é 3) pois o gráfico da inversa é uma reta.

Para verificar que 1) e 2) não são bijetoras, basta desenhar o gráfico de cada uma: vc verá que alguns valores do domínio levam a mais de um valor de imagem.

por **Giovana Martins** Sex 08 Jul 2022, 17:54

Estranho. A meu ver há duas respostas para este exercício. Tudo foi digitado certinho? Posso ter cometido algum erro também.

Mackenzie - Funções Circulares Inversas Scree323

Sejam as funções f(x), g(x) e h(x), conforme o enunciado, definidas A → A, isto é, de domínio ("A" à esquerda da seta) e contradomínio ("A" à direita da seta) iguais.

No domínio A = [-1,1], tem-se que Im(f) = [-1,1] = A, Im(g) ≠ A = [-1,1] e Im(h) = [-∏/2,∏/2] ≠ A = [-1,1].

A condição para uma função p(x) ser sobrejetora: Im(p) = CD (p).

Desse modo, f(x) é sobrejetora, enquanto g(x) e h(x) não o são. O item B, portanto, é falso.

Condição para uma função ser injetora: seja uma função p(x) tal que p: U → V. Para todo x', x'' ∈ U → x' ≠ x'' → p(x') ≠ p(x'').

Pelo gráfico, ao traçarmos o segmento MN, é fácil notar que x_M ≠ x_N tem-se g(x_M) = g(x_N), o que fere a condição para termos uma função injetora. Desse modo, as funções f(x) e h(x) são injetoras, enquanto a função g(x) não o é. O item C é falso.

Item D) Correto. Apenas f(x) é sobrejetora.

Item E) O conectivo "e" indica que, dentre as funções f(x), g(x) e h(x), há apenas uma que é, ao mesmo tempo, sobrejetora e injetora, isto é, bijetora. De fato, apenas f(x) é injetora e sobrejetora e, portanto, bijetora.

por **Giovana Martins** Sex 08 Jul 2022, 17:59

Élcio, creio que houve um pequeno equívoco. Note que a imagem de h(x) = ∏x/2, no domínio A, difere de seu contradomínio A = [-1,1], ou seja, não há a possibilidade de h(x) ser sobrejetora. Consequentemente h(x) não pode ser, portanto, bijetora.

por **Elcioschin** Sex 08 Jul 2022, 18:05

Você está certa: eu me esqueci do domínio.

por **Giovana Martins** Sex 08 Jul 2022, 18:17

Elcioschin escreveu:
Você está certa: eu me esqueci do domínio.

Élcio, eu dei uma procurada pelo fórum e acabei encontrando um outro post sobre este exercício. Há um pequeno erro de digitação na função h(x). O correto seria h(x) = sin(∏x/2).

Vejam: https://pir2.forumeiros.com/t17584-questao-mack