Álgebra Linear e Geometria Analítica

Entre os pontos da reta r:2x+y-2=0, aquele que está mais próximo do ponto P(5,1) é

a) (1/2,1)
b) (7/5, -4/5)
c) (2/3, 1/3)
d) (4/3, -2/3)
e) n.r.a

Gabarito: B
Tem alguma forma mais rápida de fazer esse exercício ou tem que testar as alternativas mesmo?

Temos a reta dada por:
2x + y - 2 = 0
y = - 2x + 2

Coeficiente angular da reta perpendicular:
(-2).m = - 1
m = 1/2

Reta perpendicular:
y - yo = m(x - xo)
y - 1 = (1/2).(x - 5)
y - 1 = x/2 - 5/2
y = x/2 - 3/2

Intersecção:
i)  y = - 2x + 2
ii) y = x/2 - 3/2         Fazendo (i) - (ii):
------------------------------------------
0 = -2x - x/2 + 2 + 3/2
0 = -5x/2 + 7/2
5x/2 = 7/2
x = 7/5
y = - 4/5

a solução de Rory é a melhor mas um outro modo bem mais complicado seria:

distância de P a r é a distância mínima do ponto à reta:
d(P, r) = d = 9√5/5  ----->  d² = 81/5

seja Q um ponto da reta r ---->  Q = (x, -2x+2)
queremos que a distância d(Q, P) seja mínima, então ela deve ser igual a d. Calculamos a distância PQ e igualamos a d.
ficamos com uma equação do 2º grau em x, uma parábola com concavidade para cima cujo vértice são as coordenadas do ponto Q pedido pois é onde temos o mínimo da função.
25x² - 70x + 49 - 0
x_V = -b/2a = 70/50  ----->  x = 7/5
substitui na eq da reta:
y_V = -2.(7/5) + 2  ----->  y = -4/5


Aliás, a bem da verdade, a solução da Rory é pura Geometria Analítica e este modo é praticamente só Álgebra.

Muito obrigado pela ajuda Rory e Medeiros mas queria entender por qual motivo teria que achar a reta perpendicular e depois a intersecção (solução do Rory), não achei nenhuma explicação sobre isso no livro que estou fazendo

Asp_Mega escreveu:Muito obrigado pela ajuda Rory e Medeiros mas queria entender por qual motivo teria que achar a reta perpendicular e depois a intersecção (solução do Rory), não achei nenhuma explicação sobre isso no livro que estou fazendo

Você tem uma reta e o ponto P fora da reta. A questão quer saber qual ponto da reta está mais próximo de P; ora, o ponto mais próximo é a distância mais curta e a menor distância entre um ponto e um objeto (pode ser reta, muro, prédio, quadrado, circunferência, ...) é medida na perpendicular ao objeto. Então a Rory achou a reta perpendicular ao objeto (neste caso a reta r dada) que passava pelo ponto P. Esta perpendicular contém a distância mais curta, porém para descobrir qual o ponto da reta r precisamos fazer a interseção da perpendicular com r.

Faça um desenho (rascunhado mesmo) que lhe vai ficar claro.

Eis o desenho: