Cores de um prisma (Permutação circular)

por ocotoconinja Seg 06 Jun 2022, 17:39

Olá! Alguém poderia me ajudar nesta questão? Estou encontrando uma resposta diferente.
Considere um prisma retangular de base pentagonal. De quantos modos pode-se pintar as 7 faces - cada lateral de uma cor e as bases da mesma cor, distintas das faces laterais- usando 6 cores diferentes?

Resposta:

por Shino Seg 06 Jun 2022, 17:52

Boa tarde ocotoconinja,

podemos pensar assim: já que temos 6 cores disponíveis e precisamos que as bases sejam iguais, podemos selecionar uma cor para ela, nos restando 5 cores para as faces laterais, portanto, temos 5 cores para as 5 faces, tendo um total de 5! = 120 possibilidades, porém podemos selecionar 6 cores distintas para a base, resultando em 6*120 = 720 possibilidades

por ocotoconinja Seg 06 Jun 2022, 18:13

Shino escreveu:Boa tarde ocotoconinja,

podemos pensar assim: já que temos 6 cores disponíveis e precisamos que as bases sejam iguais, podemos selecionar uma cor para ela, nos restando 5 cores para as faces laterais, portanto, temos 5 cores para as 5 faces, tendo um total de 5! = 120 possibilidades, porém podemos selecionar 6 cores distintas para a base, resultando em 6*120 = 720 possibilidades

Então, não sei se entendi direito, acho que estamos contando cada cor algumas vezes à mais nessa resolução. Pensei algo como escolher primeiro a cor das bases: 6 opções. Como restam ainda 5 cores, escolhemos uma, e a fixamos-faço isso para não contar a mesma cor 5x, pois se trata de uma permutação circular-, assim, restam 4! maneiras.

Portanto: 6.4! = 144. Mas, segundo o gabarito ainda estou contando cada cor 2x. Ou será que ele realmente era para ser 720? Ao meu ver, nesse caso, conta-se 5x cada cor da lateral.

por **tales amaral** Seg 06 Jun 2022, 18:28

ocotoconinja escreveu:
Shino escreveu:Boa tarde ocotoconinja,

podemos pensar assim: já que temos 6 cores disponíveis e precisamos que as bases sejam iguais, podemos selecionar uma cor para ela, nos restando 5 cores para as faces laterais, portanto, temos 5 cores para as 5 faces, tendo um total de 5! = 120 possibilidades, porém podemos selecionar 6 cores distintas para a base, resultando em 6*120 = 720 possibilidades

Então, não sei se entendi direito, acho que estamos contando cada cor algumas vezes à mais nessa resolução. Pensei algo como escolher primeiro a cor das bases: 6 opções. Como restam ainda 5 cores, escolhemos uma, e a fixamos-faço isso para não contar a mesma cor 5x, pois se trata de uma permutação circular-, assim, restam 4! maneiras.

Portanto: 6.4! = 144. Mas, segundo o gabarito ainda estou contando cada cor 2x. Ou será que ele realmente era para ser 720? Ao meu ver, nesse caso, conta-se 5x cada cor da lateral.

Eu acho que o gabarito está errado. Cheguei em 144 = 6!/5 também. Só precisaria dividir por 2 se as cores das bases fossem diferentes, o que não é o caso.