Tangentes a curvas.

60.
a) Ache as equações de ambas as retas que passam pelo ponto (2,-3) e que são tangentes à parábola y = x² + x
b) Mostre que não existe nenhuma reta que passe pelo ponto (2,7) e que seja tangente à parábola.


Boaa noite amigos!
Então, resolvi botar a questão toda, pois fiquei em dúvida, principalmente na A.
A letra B eu consegui ver que, se jogarmos a coordenada da abscissa do ponto (2,7) em y = x² + x , ficamos com: y = 2² + 2 = 6 ≠ 7
Logo, a gente pode pensar que não haverá uma reta tangente que passe por esse ponto (2,7) e ao mesmo tempo por apenas 1 ponto da curva dada, justamente por essa diferença entre os valores das ordenadas(creio que isso mostre formalmente)

Mas sobre a letra A, não consigo sair do lugar...
Aprendi que, para acharmos tangentes à curvas, podemos fazer assim:
1. Derivar y
2. Jogar a abscissa do ponto pedido em y'
3. Descobrir o valor de y', q corresponde a inclinação da reta
4. Jogar na fórmula: y - y' = m(x - x')

Vlww!

Fala, bergamotinha.
A) y = x^2 + x
y' = 2x + 1

Seja (a,b) o ponto de tangência da reta e da parábola, daí sabemos que a reta em sua forma reduzida é 
y = (2a+1)x + c                ((2a+1) é o coeficiente angular e c é o coeficiente linear)

O problema agora é definir a e c, para isso podemos fazer dois sistemas:

A reta passa por (a,a^2+a):
a^2 + a = (2a+1)*a + c (i)

E também por (2,-3):
-3 = (2a+1)*2 + c
c = -5 - 4a (ii)

(ii) -> (i):
a^2 + a = 2a^2 + a -5 -4a
a^2 -4a -5 = 0

Por bháskara achamos a = 5 ou a = -1

Como c = -5 -4a: a = 5 -> c = -25, a = -1 -> c =-1

Pronto, as equações da reta são:
y = -x - 1
y = 11x - 25

B) O pensamento que você propôs demonstra a afirmação da questão sim, é só explicar direitinho.
Uma outra ideia é fazer o mesmo passo a passo que eu fiz acima, nós vamos cair em um absurdo em algum momento da resolução:

y = (2a+1)x + c

A reta passa por (a,a^2+a):
a^2 + a = (2a+1)*a + c (i)

e passa por (2,7)
7 = (2a+1)*2 + c
c = 5 - 4a (ii)

(i) -> (ii):
a^2 + a = 2a^2 + a + 5 - 4a
a^2 - 4a + 5 = 0

delta = 16 - 4(1)(5) < 0

Logo, não há reta tangente que passa pelo ponto (2,7)

um gráfico da solução do colega João Pedro.


note que o ponto (2, 7) fica dentro da boca da parábola, não tem como traçar tangente a partir dele e por isso que o discriminante do João deu negativo.

Olá pessoal!!

Agradeço pela ajuda de vdd!
Eu comecei a estudar esse tipo de questão tem em torno de 3 dias... tava fluindo de boa
Aí me deparei com essa e n tava saindo a letra A.
Fico feliz da B estar certinha!

Obrigado a ambos!

Outro modo, sem usar derivadas:


Parábola: y = x² + x ---> Raízes x' = -1 e x" = 0 ---> xV = -1/2 e yV = - 1/4 ---> I

Seja m o coeficiente angular das retas que passam por (2, -3) e são tangentes à parábola:

Equação das retas ---> y - (-3) = m.(x - 2) ---> y = m.x - 2.m - 3 ---> II

I = II ---> x² + x =  m.x - 2.m - 3 ---> x² + (1 - m).x + (2.m + 3)

Para as retas serem tangentes, devemos ter ∆ = 0 ---> b² - 4.a.c = 0 ---> (1 - m)² - 4.1.(2.m + 3) = 0 ---> m² - 10.m - 11 = 0

Raízes desta equação ---> m' = - 1 e m" = 11 ---> Equação da reta:  y = m.x - 2.m - 3

Para m = - 1 ---> y = - 1.x - 2.(- 1) - 3 --> y = - x - 1

Para m = 11 ---> y = 11.x - 2.11 - 3 ---> y = 11.x - 25

Obrigado gente, por essas resoluções extras!
É sempre bom conseguir ver por outros aspectos!

Vlww!

Giovana,

qual programa você usa para fazer esses gráficos?