Curvas e Retas Tangentes

Olá, poderiam me ajudar na questão a seguir, por favor? 

As curvas y= x^3 - 2x +1 e y = x^2 + 2ax +1 passam pelo mesmo ponto e tem uma tangente comum nesse ponto. Encontre o ponto de tangência e o valor de "a".

Minha resolução até certo ponto:


Bem, digamos que esse "ponto" pode ser expressado pela coordenada (k, f(k)).

Daí, na primeira equação, teríamos que f(k) = k^3 - 2k + 1, e na segunda: f(k) = k^2 + 2ax +1

k^3 - 2k + 1 = k^2 + 2ak + 1

k^3 - 2k = k^2 + 2ak

k^2 - 2 = k + 2a

2a = k^2 - k - 2 ..... A

A reta tangente nesse ponto é comum às duas curvas, então, da primeira equação, teremos a equação da reta tengente:

Sendo m = f'(k) = 3k^2 - 2

y - y0 = m ( x - xo)

y - k^3 + 2k - 1 = ( 3k^2 - 2 ) ( x - k)

y - k^3 + 2k - 1 =  ( 3k^2 - 2 ) x - 3k^3 + 2k

y =   ( 3k^2 - 2 ) x - 2k^3 + 1.....B

Fazendo a mesma coisa com a segunda equação:

m = f'(k) = 2k + 2a 

y -  k^2 - 2ak - 1 = (2k + 2a) ( x - k)

y -  k^2 - 2ak - 1 = (2k + 2a) x  - 2k^2 - 2ak

y = (2k + 2a) x  - k^2 + 1 ....C

Como B = C,

- 2k^3 + 1 = - k^2 + 1

2k ^3 = k^2

k = 0; 1/2

( 3k^2 - 2 ) = (2k + 2a) 

2a = 3k^2- 2k - 2 ... D

A = D:

k^2 - k - 2 = ( 3k^2 -2k - 2 ) 

2k^2 - k = 0

k ( 2k - 1) = 0

k = 0; 1/2


Se k = 0, a = -1


Se k = 1/2, a = -9/8


Afinal, quanto vale k? 1/2 ou 0? Poderiam me ajudar a encontrar algum erro na minha resolução? Tenho quase certeza que esteja incorreta!


Desde já agradeço!

Elas passam pelo mesmo ponto:

x³ - 2x + 1 = x² + 2.a.x + 1 ---> x.[x² - x - 2.(a + 1)] = 0

Raízes ---> x = 0 ---> x = [1 - √(8.a + 9)]/2 e x = [1 + √(8.a + 9)]/2

Conclusão: 8a + 9 >= 0 ---> a >= - 9/8

Para a sua solução a = - 1 ---> x = 0, x = 0 e x = 1

Pontos de cruzamento A(0, 1) B(1, 0)

Elas tem uma tangente comum ---> as derivadas são iguais, num certo ponto:

y'(1) = 3.x² - 2 ----> y'(1) = 3.0² - 2 ---> y'(1) = - 2
y'(2) = 2.x + 2.a ---> y'(2) = 2.0 + 2.(-1) ---> y'(2) = - 2

Esta solução k = 0, a = - 1 é válida

Fazendo mesmo para x = 1 ---> as duas tangentes são diferentes ---> solução não válida

Faça o mesmo teste para k = 1/2, a = - 9/8 ---> Soluções devem ser não válidas

Muito obrigado pela resposta Sr. Elcioshin,

Mas calculando as derivadas quando k = 1/2 e a = -9/8:

y'(1) = 3/4 - 2 = 3/4 - 8/4 = -5/4

y'(2) = 1 - 18/8 = 4/4 - 9/4 = -5/4

Ou seja, os coeficientes angulares da reta tangente são idênticos...

E substituindo esses valores nas duas equações originais temos:

 y(1)= x^3 - 2x +1 


= 1/8 


 y(2) = x^2 + 2ax +1

= 1/4 - 9/8 . 2 . 1/2 + 1

= 1/4 - 9/8 + 8/8

= 1/4 - 1/8

= 2/8 - 1/8

= 1/8

Ou seja, f(k) são idênticos nos dois casos, isto é, as curvas se interceptam nesse ponto também.

Daí, como eu invalidaria essa resposta caso ela seja inconveniente?

Agradeço novamente pela ajuda..

Isto significa que esta solução também é válida.

Sugiro plotar as curvas no Wolfram, para ter uma ideia dos pontos de cruzamento e tangência:

y = x³ - 2x + 1 e y = x² - 2x + 1
e
y = x³ - 2x + 1 e y = x² - (9/4).x + 1

Obrigado Sr. Elcioschin, a minha maior dúvida seria no que se refere à possibilidade de duas respostas, sendo que o enunciado retrata o termo "valor" no singular..

As curvas plotadas