FGV - matrizes
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FGV - matrizes
por Romanelo Sáb 12 Mar 2022, 13:36
(FGV) Dadas as matrizes A e X abaixo.
Chama-se autovalor de A qualquer valor real de λ que faz com que a equação matricial AX = λX tenha soluções não nulas para X.
a) Determine os autovalores de A
b) Para os valores encontrados no item anterior, obtenha a expressão da matriz
gabarito:
Chama-se autovalor de A qualquer valor real de λ que faz com que a equação matricial AX = λX tenha soluções não nulas para X.
a) Determine os autovalores de A
b) Para os valores encontrados no item anterior, obtenha a expressão da matriz
gabarito:
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Re: FGV - matrizes
por aitchrpi Sáb 12 Mar 2022, 14:33
a) Note que
[latex]\begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda x\\ \lambda y\end{bmatrix} = \lambda\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}[/latex]
Então,
[latex]\left( \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = 0[/latex]
Mas isso só acontece quando determinante da matriz é zero. Ou seja,
[latex]det \begin{bmatrix} 1 - \lambda& 0\\ 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(3 - \lambda) = 0[/latex]
Portanto, lambda = 1 ou lambda = 3. Para encontrar os autovetores você precisa resolver os dois sistemas de equações a seguir:
[latex]\begin{bmatrix} 1 - 3& 0\\ 2 & 3 - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= 0[/latex]
[latex]\begin{bmatrix} 1 - 1& 0\\ 2 & 3 - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= 0[/latex]
[latex]\begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \lambda x\\ \lambda y\end{bmatrix} = \lambda\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}[/latex]
Então,
[latex]\left( \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 2 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} \lambda & 0\\ 0 & \lambda \end{bmatrix} \right ) \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = 0[/latex]
Mas isso só acontece quando determinante da matriz é zero. Ou seja,
[latex]det \begin{bmatrix} 1 - \lambda& 0\\ 2 & 3 - \lambda \end{bmatrix} = (1-\lambda)(3 - \lambda) = 0[/latex]
Portanto, lambda = 1 ou lambda = 3. Para encontrar os autovetores você precisa resolver os dois sistemas de equações a seguir:
[latex]\begin{bmatrix} 1 - 3& 0\\ 2 & 3 - 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= 0[/latex]
[latex]\begin{bmatrix} 1 - 1& 0\\ 2 & 3 - 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix}= 0[/latex]
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