purple comet math meet 2019 questão 9
2 participantes
PiR2 :: Questões Especiais :: Olimpíadas :: Matemática
Página 1 de 1
purple comet math meet 2019 questão 9
por TatsuoPlays43 Dom Fev 27 2022, 11:53
Encontre o inteiro positivo n de modo que o produto das soluções reais da expressão seja 32.
[latex]x^{log_{2}(x^{3})-n} = 13[/latex]
A resposta é 15 mas não sei como chegar em quinze.
[latex]x^{log_{2}(x^{3})-n} = 13[/latex]
A resposta é 15 mas não sei como chegar em quinze.
Última edição por TatsuoPlays43 em Dom Fev 27 2022, 15:44, editado 2 vez(es)
TatsuoPlays43- Iniciante
- Mensagens : 13
Data de inscrição : 16/01/2022
Idade : 18
Localização : Brasília
Re: purple comet math meet 2019 questão 9
por aitchrpi Dom Fev 27 2022, 14:55
Essa questão parece bem difícil se for (log2(x^3))^(-n), então eu vou considerar que o correto é log2(x^3) - n
[latex]x^{log_{2}x^3 - n} = 13\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,(3\,log_2\,x - n)\,log_{\,2}\,x = log_{\,2}13[/latex]
[latex](3y - n)y = 3y^2 - ny = log_{\,2}13\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,3y^2 - ny - log_2{13} = 0[/latex]
Mas toda equação quadrática pode ser escrita na seguinte forma:
[latex]a(y-y_1)(y - y_2) = a(y^2 -y\,y_2 -y\,y_1 + y_1\,y_2) = ay^2 -a(y_1+y_2)y + a\,y_1\,y_2[/latex]
E, por fim, obtemos que n = a(y1 + y2). Como y1 = log2(x1) e y2 = log2(x2), sabemos que y1 + y2 = log2(x1 * x2) = log2(32) = 5. Assim, n = 3(5) = 15.
[latex]x^{log_{2}x^3 - n} = 13\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,(3\,log_2\,x - n)\,log_{\,2}\,x = log_{\,2}13[/latex]
[latex](3y - n)y = 3y^2 - ny = log_{\,2}13\,\,\,\,\rightarrow\,\,\,\,3y^2 - ny - log_2{13} = 0[/latex]
Mas toda equação quadrática pode ser escrita na seguinte forma:
[latex]a(y-y_1)(y - y_2) = a(y^2 -y\,y_2 -y\,y_1 + y_1\,y_2) = ay^2 -a(y_1+y_2)y + a\,y_1\,y_2[/latex]
E, por fim, obtemos que n = a(y1 + y2). Como y1 = log2(x1) e y2 = log2(x2), sabemos que y1 + y2 = log2(x1 * x2) = log2(32) = 5. Assim, n = 3(5) = 15.
aitchrpi- Recebeu o sabre de luz
- Mensagens : 179
Data de inscrição : 05/03/2021
Idade : 15
Localização : Curitiba
TatsuoPlays43 gosta desta mensagem
Re: purple comet math meet 2019 questão 9
por TatsuoPlays43 Dom Fev 27 2022, 15:14
realmente olhando a versão em inglês da questão é -n em vez de elevado a n , obrigado mesmo fiquei tanto tempo pra tentar resolver essa questão e nem percebi que a estava fazendo com a equação errada.
TatsuoPlays43- Iniciante
- Mensagens : 13
Data de inscrição : 16/01/2022
Idade : 18
Localização : Brasília
aitchrpi gosta desta mensagem
Tópicos semelhantes» purple comet math meet 2019 questão 7
» Trigonometria - Purple Comet
» Questão diferente: No game math's land...
» Questão Inatel - 2019
» Questão Inatel - 2019
» Trigonometria - Purple Comet
» Questão diferente: No game math's land...
» Questão Inatel - 2019
» Questão Inatel - 2019
PiR2 :: Questões Especiais :: Olimpíadas :: Matemática
Página 1 de 1
Permissões neste sub-fórum
Não podes responder a tópicos
