purple comet math meet 2019 questão 7

por TatsuoPlays43 Sáb 26 Fev 2022, 20:18

[latex](3^{x})^{x+2} + (4^{x})^{x+2} - (6^{x})^{x+2} = 1 [/latex]
Determine quantos números reais x que satisfazem a equação

por **qedpetrich** Sáb 26 Fev 2022, 20:32

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Por favor [EDIT] sua postagem.

por **Giovana Martins** Sáb 26 Fev 2022, 20:58

Tatsuo, é necessário digitar também o enunciado da questão, não apenas a expressão.

por **Giovana Martins** Sáb 26 Fev 2022, 21:22

Obrigada por editar a postagem.

Uma manipulação:

(3^x)^x+2+(4^x)^x+2-(6^x)^x+2=1 → (3^x)^x+2+[(2^x)^x+2]²-(2^x)^x+2(3^x)^x+2=1

Sejam m=(2^x)^x+2 e n=(3^x)^x+2. Logo:

n+m²-mn-1=0 → (m-1)(m-n+1)=0 ∴ m=1 (I) v n=m+1 (II)

De (I): (2^x)^x+2=1 → x=-2 v x=0

Para x=-2 e x=0, tem-se m=1. Para m=1 em (II), tem-se n=2.

De (II): (3^x)^x+2=2 (não possui solução analítica)

Verificações:

Para x=-2: (3^-2)⁰+(4^-2)⁰-(6^-2)⁰=1 → 1+1-1=1 → 1=1 (Ok!)

Para x=0: (3⁰)²+(4⁰)²-(6⁰)²=1 → 1+1-1=1 → 1=1 (Ok!)

Logo, S={-2,0}.

Penso que seja isto. Possui o gabarito?

por TatsuoPlays43 Sáb 26 Fev 2022, 21:30

No gabarito a resposta consta como 4.

por TatsuoPlays43 Sáb 26 Fev 2022, 21:33

fui conferir na prova e inglês e na verdade eles queriam saber o numero de números reais x que satisfazem a equação aí ainda faltam duas soluções

por **Giovana Martins** Sáb 26 Fev 2022, 21:36

Se eu não estiver falando bobagem, creio que o gabarito esteja incorreto.

(3^x)^x+2+(4^x)^x+2-(6^x)^x+2=1 → (3⁴)⁶+(4⁴)⁶-(6⁴)⁶≠1 (não confere)

por TatsuoPlays43 Sáb 26 Fev 2022, 21:40

a culpa é minha que não conferi como era o enunciado da questão em inglês porque peguei uma versão traduzida da prova da olimpíada aí na verdade a questão queria saber o numero de soluções reais para x aí a resposta pode dar quatro apesar de não saber da onde surgiram essas outras 2 raízes
Me desculpe por passar o enunciado errado não tinha percebi que a tradução era tão ruim assim.

por gabriel_balbao Sáb 26 Fev 2022, 21:40

Boa noite!

O enunciado original da questão é: "Encontre o número de soluções reais de x que satisfazem a equação".

Nesse sentido, devemos encontrar quantas são as soluções. Fiz uma manipulação um pouco diferente, veja:

Fazendo x + 2 = p (apenas para facilitar a escrita), teremos: (3^x)^p + (4^x)^p - (6^x)^p = 1 ⇒ (3^x)^p + (2^x)^2p - [(3.2)^x]^p = 1 ⇒ (3^x)^p + (2^x)^2p - (3^x)^p(2^x)^p = 1.

Colocando (3^x)^p em evidência, temos: (3^x)^p[1 - (2^x)^p] + (2^x)^2p = 1 ⇒ (3^x)^p[1 - (2^x)^p] + (2^x)^2p - 1 = 0 ⇒ (3^x)^p[1 - (2^x)^p] - [1 - (2^x)^2p] = 0 ⇒ (3^x)^p[1 - (2^x)^p] - [1 + (2^x)^p][1 - (2^x)^p] = 0

Colocando 1 - (2^x)^p em evidência, vem: [1 - (2^x)^p]{(3^x)^p - [1 + (2^x)^p]} = 0

Aqui, fazendo a Lei do Anulamento do Produto, teremos: (I): [1 - (2^x)^p] = 0 ou (II): (3^x)^p - [1 + (2^x)^p] = 0

Em (I): (2^x)^p = 1 ⇒ (2^x)^p = 2⁰ ⇒ x.p = 0 ⇒ x² + 2x = 0 ⇒ 2 soluções reais

Em (II): (3^x)^p - [1 + (2^x)^p] = 0 ⇒ (3^x)^p + (2^x)^p = 1. Aqui, a única forma que consegui prosseguir foi numericamente. Verifica-se, facilmente, que o resultado é válido única e exclusivamente para x.p = 1. Daí: x² + 2x = 1 ⇒ x² + 2x - 1 = 0 ⇒ ∆ > 0 ⇒ 2 soluções reais

Assim, como o exercício pede o número de soluções, deve-se somar os resultados encontrados e, portanto, o resultado seria 4. É esse o gabarito?