Trigonometria - Purple Comet

Olá, meus amigos! Quem puder me ajudar aqui, agradeço.


Se a e b são números reais que satisfaz 2(sen a + cos a)*sen b = 3 - cos b, então o valor de 3tg²a + 4tg²b é: 



Imaginei transformar o produto na soma, porém sem sucesso.

Gab.: 35.

Boa noite!
Exercício extremamente trabalhoso, envolve muitas transformações trigonométricas e algumas sacadas pouco intuitivas. Consegui desenvolver da seguinte forma, veja:

O enunciado nos fornece que 2[sen(a) + cos(a)]sen(b) = 3 - cos(b). Podemos reescrever da seguinte forma: 2sen(a)sen(b) + 2cos(a)sen(b) + cos(b) = 3.

Aqui, convém lembrar, primeiramente, que: cos(x - y) - cos(x + y) = cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) - cos(x)cos(y) + sen(x)sen(y) = 2sen(x)sen(y). Além disso, também é importante saber que: sen(x + y) - sen(x - y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) - sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x) = 2sen(y)cos(x). 

Aplicando essas transformações na expressão que havíamos conseguido, vem: cos(a - b) - cos(a + b) + sen(a + b) - sen(a - b) + cos(b) = 3 ⇒ [sen(a + b) - cos(a + b)] - [sen(a - b) - cos(a - b)] + cos(b) = 3. 



Agora, é importante se familiarizar com um tipo de "truque algébrico" comum em algumas equações trigonométricas. Não tenho certeza se já teve contato com exercícios desse tipo: "Resolva a equação trigonométrica √3sen(x) + 1.cos(x) = 2". Nesses exercícios, é importante lembrar do seno da soma de arcos, sen(x + y) = sen(x)cos(y) + sen(y)cos(x), e comparar as expressões. 

Consegue notar a semelhança com a expressão anterior? Legal. Podemos assumir, a partir daí, que cos(y) = √3 e sen(y) = 1. Sabemos, entretanto, que essas funções trigonométricas assumem valor máximo de 1, de forma que cos(y) = √3 é impossível. Assim, é importante assumirmos, na verdade, que k.cos(y) = √3 e k.sen(y) = 1, onde k é um número diferente de zero. Reescrevendo-se a equação como sen(x)k.cos(y) + k.sen(y)cos(x) = 2, vem: k.sen(x + y) = 2.

Assim, como k.cos(y) = √3 e k.sen(y) =1, tem-se que: cos(y) = (√3)/k e sen(y) = 1/k. Aplicando a relação fundamental, vem: (3/k²) + (1/k²) = 1, donde k = ± 2. Escolherei o valor positivo, mas ressalto que ambas escolhas proveriam os mesmos resultados. De k = 2, vem: cos(y) = √3/2 e sen(y) = 1/2, e, portanto, y = π/6. Substituindo k e y na equação reescrita, tem-se: 2sen(x + π/6) = 2. A partir daí, resolve-se a equação trigonométrica de forma habitual.



Ótimo, familiarizado com esse "truque algébrico", vamos tentar aplicá-lo na expressão que havíamos conseguido: [sen(a + b) - cos(a + b)] - [sen(a - b) - cos(a - b)] + cos(b) = 3.

Perceba que podemos escrevê-la da seguinte forma: [sen(a + b)k.cos(c) - k.sen(c)cos(a + b)] - [sen(a - b)k.cos(c) - k.sen(c)cos(a - b)] + cos(b) = 3 ⇒ k.sen(a + b - c) - k.sen(a - b - c) + cos(b) = 3 ⇒ k[sen(a + b - c) - sen(a - b - c)] + cos(b) = 3.

Assim, como k.cos(c) = 1 e k.sen(c) = 1, vem: cos(c) = 1/k e sen(c) = 1/k. Pela relação fundamental, e partindo de raciocínio análogo ao demonstrado anteriormente, tem-se: k = ±√2. Escolherei o valor positivo, sob a mesma ressalva anteriormente feita. De k = √2, cos(c) = 1/√2 e sen(c) = 1/√2, e, portanto, c = π/4. Substituindo k e c na expressão, tem-se: k[sen(a + b - c) - sen(a - b - c)] + cos(b) = 3 ⇒ √2[sen(a + b - π/4) + sen(a - b - π/4)] + cos(b) = 3. 

Desenvolvendo-se a expressão entre colchetes, tem-se: [sen(a + b - π/4) + sen(a - b - π/4)] = sen(a + b)cos(π/4) - sen(π/4)cos(a + b) - sen(a - b)cos(π/4) + sen(π/4)cos(a - b) = cos(π/4)[sen(a + b) - sen(a - b)] + sen(π/4)[cos(a - b) - cos(a + b)]. Utilizando as equações deduzidas no terceiro parágrafo, vem: cos(π/4).2sen(b)cos(a) + sen(π/4).2sen(a)sen(b) = 2sen(b)[cos(a)cos(π/4) + sen(a)sen(π/4)] = 2sen(b)cos(a - π/4).

Beleza, substituindo isso nos colchetes, vem: √2[sen(a + b - π/4) + sen(a - b - π/4)] + cos(b) = 3 ⇒ 2√2sen(b)cos(a - π/4) + cos(b) = 3.

É claro, eu poderia ter utilizado a expressão inicialmente dada e dizer que √2(cos a - π/4) equivale a sen(a) + cos(a), substituído, e estaríamos no mesmo lugar que estamos agora. Não o fiz porque seria seria ainda menos trivial e pobre em aprendizado. O fato de √2(cos a - π/4) ser igual a sen(a) + cos(a) é um resultado notavelmente interessante para levar em provas de alto nível e, nesse caso, olímpiadas, entretanto, ao meu ver, é extremamente específico. Cabe a cada um a própria análise acerca disso.

Bom, agora sabemos que 2√2sen(b)cos(a - π/4) + cos(b) = 3. É importante, notar, aqui, que (2√2)² + 1² = 3². Isso nos leva a pensar que cos(a - π/4) = 1, para que tenhamos apenas 2√2sen(b) + cos(b) = 3. Portanto, a = π/4 e, com isso, tg(a) = tg(π/4) = 1 e tg²(a) = 1.

Resta-nos, agora, trabalhar com 2√2sen(b) + cos(b) = 3. Aqui, usaremos, novamente, o "truque algébrico" que comentei. Veja que podemos reescrever a expressão como: sen(b)p.cos(d) + p.sen(d)cos(b) = 3 ⇒ p[sen(b)cos(d) + sen(d)cos(b)] = 3 ⇒ p.sen(b + d) = 3.

Como p.cos(d) = 2√2 e p.sen(d) = 1, tem-se: cos(d) = (2√2)/p e sen(d) = 1/p. Aplicando, novamente, a relação fundamental, e um raciocínio análogo ao anterior, vem: p = ± 3. Escolhendo o valor positivo, para p = 3, na expressão, conseguimos: 3sen(b + d) = 3 ⇒ sen(b + d) = 1 ⇒ b + d = π/2

Bom, veja que b e d são ângulos complementares. Convido-o a lembrar-se que, para ângulos complementares, tem-se a relação: α + β = π/2 ⇒ sen(α) = cos(β) e sen(β) = cos(α). Caso se interesse pela demonstração, isole α ou β e aplique seno ou cosseno de ambos os lados. 

Em posse dessa informação, agora, finalmente, conseguimos escrever que sen(b) = cos(d) e sen(d) = cos(b). Sabendo-se que sen(d) = 1/p e cos(d) = (2√2)/p, para p = 3, vem: sen(d) = cos(b) = 1/3 e sen(b) = cos(d) = (2√2)/3. 

Como estamos interessados na tg(b), sabendo-se que tg(x) = [sen(x)]/cos(x), tem-se: tg(b) = [sen(b)]/cos(b) ⇒ tg(b) = [cos(d)]/sen(d). Utilizando os resultados encontrados: tg(b) = [(2√2)/3]/(1/3) ⇒ tg(b) = 2√2. Daí: tg²(b) = 8.

Substituindo os valores de tg²(a) e tg²(b), tem-se: 3tg²(a) + 4tg²(b) = 3.1 + 4.8 = 35

Rapaz kkkkkk,  essa foi tensa. Brilhante, meus parabéns!

Agradeço a gentileza de me ensinar!!

Boa tarde!
Após algumas ponderações e pesquisas venho trazer uma solução alternativa para aqueles que se interessarem. 

Lembram-se da desigualdade de Cauchy-Schwartz? Ela diz, resumidamente, que para duas enuplas quaisquer a₁,a₂,...,a_n e b₁,b₂,...,b_n, vale a seguinte desigualdade: (a²₁ + a²₂ + ... + a²_n)(b²₁ + b²₂ + ... + b²_n) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + a_nb_n)². 

Ótimo, da expressão que tínhamos, 2[sen(a) + cos(a)]sen(b) + cos(b) = 3, podemos interpretar a₁ = 2[sen(a) + cos(a)], a₂ = 1, b₁ = sen(b) e b₂ = cos(b). Aplicando na desigualdade, vem: (a²₁ + a²₂)(b²₁ + b²₂) ≥ (a₁b₁ + a₂b₂)² ⇒ {4[sen(a) + cos(a)]² + 1}[sen²(b) + cos²(b)] ≥ {2[sen(a) + cos(a)]sen(b) + cos(b)}². Aplicando a relação fundamental em (b²₁ + b²₂) e desenvolvendo o restante, tem-se: 4[sen²(a) + cos²(b) + 2sen(a)cos(a)] + 1 ≥ {2[sen(a) + cos(a)]sen(b) + cos(b)}².

Perceba, agora, que o lado direito da inequação é exatamente o valor que o enunciado nos fornece ser 3, podemos substituí-lo. Do lado esquerdo, pode-se aplicar a relação fundamental e o seno do arco duplo, veja: 4[1 + sen(2a)] + 1 ≥ 3² ⇒ 4sen(2a) + 5 ≥ 9 ⇒ 4sen(2a) ≥ 4 ⇒ sen(2a) ≥ 1. Como o seno assume valor máximo de 1, tem-se que sen(2a) = 1 e, daí, a = π/4.

A partir daí, substitui-se a na expressão inicial e trabalha-se com 2√2sen(b) + cos(b) = 3 de maneira semelhante a que mostrei na resolução anterior. Considero esse modo de resolver o exercício menos trabalho que o anterior e até mais elegante.

Brabo!

Bem interessante, agradeço, ;D !!