Sistemas Lineares

Discuta, em função de a, os seguintes sistemas:

b)x + a(y + z)=1
   y + a(x + z)=a
   z + a(x + y)=a²

Gabarito:

Fazendo a matriz do sistema para analisar o determinante:

[latex]\begin{vmatrix}1 & a &a \\ a & 1 &a \\  a&  a&1 \\ \end{vmatrix} = (a-1)^2 (2a+1)[/latex]

Se a é diferente de 1 e de -1/2, o sistema é possível e determinado.

Se a = 1, podemos ver que o sistema vai para a única equação x+ y + z = 1. Logo o sistema é possível e indeterminado, pois são infinitas soluções no plano x + y + z = 1. 

Se a = -1/2, some todas as equações:

[latex] x+y+z+2a(x+y+z) = 1 + a + a^2 [/latex]

[latex] (2a+1)(x+y+z) = 1 + a + a^2 [/latex]

Se a = -1/2, a igualdade acima é um absurdo. Logo o sistema é impossível nesse caso.

Portanto, para a = 1 é SPI, para a = -1/2 é SI e para a diferente de 1 e -1/2 é SPD.

Como você chegou nos valores de a?

DGL72021 escreveu:Como você chegou nos valores de a?

Eu olhei a expressão do determinante do sistema e encontrei os a's tais que aquele determinante é igual a zero. Quando eu calculo aquele determinante eu acho:

[latex]1 - 3 a^2 + 2 a^3[/latex]

Vejo que a = 1 é raiz desse polinômio, divido por (a-1) e acho as outras raízes na equação do segundo grau.