Questão Estilo OBM Geometria para Iniciantes

Um trapézio ABCD de bases BC e AD com BC< AD é tal que 2*AB=CD e ângulo de BAD + ângulo de CDA= 120 graus. Determine os ângulos do trapézio ABCD.

Sejam AB = x e CD = 2x e sejam α = BÂD e δ = C^DA
Trace, por B e C as alturas h do trapézio

h = AB.senα ---> h = x.senα ---> I
h = BC.senδ ---> h = 2.x.senδ ---> II

I = II ---> x.senα = 2.x.senδ ---> senα = 2.senδ ---> III

α + δ = 120 ---> cos(α + δ) = cos120 ---> cosα.cosδ - senα.senδ = 1/2 ---> IV

Complete
(

Boa tarde!

Consegui resolver o exercício usando trigonometria, não sei se há outra resolução mais "fácil". Vou mostrar como consegui desenvolver.

Primeiramente, quero lhe mostrar a representação que fiz do exercício, veja:



Tracei duas retas perpendiculares a [AD] que denotam a altura do trapézio. Note que, pelo enunciado, α + β = 120º. Minha ideia aqui foi aplicar seno nos ângulos α e β, a partir da altura relativa traçada. Note que teremos: sen(α) = h/[AB] e sen(β) = h/[CD]. Daí, podemos escrever: (sen α)[AB] = (sen β)[CD]. Como [CD] = 2[AB], vem: sen(α) = 2sen(β). 

A partir daqui, utilizamos a outra informação dada: α + β = 120º ⇒ β = 120º - α. Substituindo, tem-se: sen(α) = 2sen (120º - α) ⇒ sen(α) = 2[sen(120º)cos(α) - sen (α)cos(120º)] ⇒ sen(α) = (√3)cos(α) + sen(α) ⇒ cos(α) = 0 ∴ α = 90º.

Se α = 90º e β = 30º

É propriedade de todos os trapézios que α + θ = 180º e β + μ = 180º. Daí, conclui-se que: α = 90º, β = 30º, θ = 90º e μ = 150º.

Note que, apesar do desenho não corresponder exatamente a realidade, ele nos ajuda de maneira extremamente satisfatória. 


Se houver alguma dúvida com relação a imagem/resolução, pergunte. Qualquer erro na resolução, avise. 


Edit: Élcio, acabamos postando juntos. Deixo a resolução ou a excluo?