Termodinâmica dos gases

Um mol de um gás ideal (molécula linear) em temperatura T1 (em Kelvin) e pressão P1 é expandido adiabática e reversivelmente até que a pressão seja P2. Calcule a temperatura final T2 (em Kelvin)

Gab:  [latex]T2=(\frac{P2}{P1})^\frac{7}{5}.T1[/latex]

Olá, poderia me confirmar o gabarito? Estou encontrando T₂ = (p₂/p₁)^2/7.T₁.

gabriel_balbao escreveu:Olá, poderia me confirmar o gabarito? Estou encontrando T₂ = (p₂/p₁)^2/7.T₁.

Olá, Gabriel. O resultado é esse mesmo que você encontrou. O gabarito estava errado. Mesmo assim, ainda tive dificuldade no desenvolvimento. Você poderia explicar sua resolução?

Boa tarde! Claro, vamos lá!

Bom, primeiramente, quero lhe convidar a relembrar da equação de Poisson para a termodinâmica. Resumidamente, ela diz que, para uma transformação adiabática, o produto pV^γ se mantem constante. Vale relembrar que γ é o expoente de Poisson, o qual pode ser calculado pela razão entre C_p e C_v do gás. No caso específico do exercício, esses valores não são fornecidos. Entretanto, uma informação valiosa é mencionada "molécula linear". Apesar de não ser um assunto muito estudado no ensino médio, o expoente de Poisson também pode ser calculado através dos graus de liberdade da molécula do gás, isso porque C_p e C_v variam de acordo com os graus de liberdade, sendo calculados por C_p = (f/2)R + R e C_v = (f/2)R, onde f representa os graus de liberdade e R a constante dos gases. Pode-se dizer, daí, que γ = C_p/ C_v = 1 + (2/f). Como uma molécula linear tem 5 graus de liberdade (deixarei um complemento ao final explicando o porquê, caso interesse), γ = 1 + (2/5) ⇒ γ = 7/5.

Ótimo, substituindo na equação de Poisson, vem: p₁V₁^7/5 = p₂V₂^7/5 ⇒ (V₁/V₂)^7/5 = p₂/p₁. Agora, tome a equação geral dos gases p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ e isole a relação V₁/V₂. Ter-se-á: V₁/V₂ = p₂T₁/p₁T₂. Substituindo na relação encontrada anteriormente: (p₂T₁/p₁T₂)^7/5 = p₂/p₁. Manipulando a equação, tem-se: p₂^2/5T₁^7/5 = p₁^2/5T₂^7/5 ⇒ T₂⁷ = (p₂/p₁)².T₁⁷ ⇒ T₂ = (p₂/p₁)^2/7.T₁.



Complemento:

Aqui, observe, primeiramente, a molécula linear que desenhei em um plano cartesiano xyz. Lembre-se, também, que a ligação química entre os átomos, em nossa análise, se comporta como uma barra fixa.

 

Note, aqui, para quais direções a molécula pode se movimentar. Esses serão seus graus de liberdade. É imediato que ela possui translação ao longo do eixo x (V_x), ao longo do eixo y (V_y) e ao longo do eixo z (V_z). Além disso, ela também possui rotação ao longo dos mesmos eixos, x (W_x), y (W_y) e z (W_z). Entretanto, veja que a rotação ao longo do eixo x não exerce, de fato, muita influência sobre a molécula e, por isso, podemos desprezá-la. O motivo real de sua não influência nos graus liberdade tem caráter quântico e acredito que não há necessidade de se aprofundar de tal maneira, visto que a explicação mais simples e visual já basta. Assim, pode-se concluir que uma molécula linear possui 5 graus de liberdade (V_x, V_y, V_z, W_y e W_z).

Eu recomendaria que você levasse essas informações prontas para a prova. De modo geral, dizemos que um gás monoatômico (o Hélio, por exemplo) tem 3 graus de liberdade, um gás diatômico ou de molécula linear (H₂ ou CO₂, por exemplo) tem 5 graus de liberdade e uma gás triatômico não linear (H₂O, por exemplo) tem 6 graus de liberdade. Parece uma grande decoreba, mas se você lembrar dessa análise nos eixos, será mais fácil de guardar cada caso.



No mais, é isso. Consegui desenvolver desse modo, não tenho certeza se é o melhor, mas bate com o gabarito. Se encontrar algum erro na resolução, avise-me. Se lhe restarem dúvidas, pergunte.

gabriel_balbao escreveu:Boa tarde! Claro, vamos lá!

Bom, primeiramente, quero lhe convidar a relembrar da equação de Poisson para a termodinâmica. Resumidamente, ela diz que, para uma transformação adiabática, o produto pV^γ se mantem constante. Vale relembrar que γ é o expoente de Poisson, o qual pode ser calculado pela razão entre C_p e C_v do gás. No caso específico do exercício, esses valores não são fornecidos. Entretanto, uma informação valiosa é mencionada "molécula linear". Apesar de não ser um assunto muito estudado no ensino médio, o expoente de Poisson também pode ser calculado através dos graus de liberdade da molécula do gás, isso porque C_p e C_v variam de acordo com os graus de liberdade, sendo calculados por C_p = (f/2)R + R e C_v = (f/2)R, onde f representa os graus de liberdade e R a constante dos gases. Pode-se dizer, daí, que γ = C_p/ C_v = 1 + (2/f). Como uma molécula linear tem 5 graus de liberdade (deixarei um complemento ao final explicando o porquê, caso interesse), γ = 1 + (2/5) ⇒ γ = 7/5.

Ótimo, substituindo na equação de Poisson, vem: p₁V₁^7/5 = p₂V₂^7/5 ⇒ (V₁/V₂)^7/5 = p₂/p₁. Agora, tome a equação geral dos gases p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂ e isole a relação V₁/V₂. Ter-se-á: V₁/V₂ = p₂T₁/p₁T₂. Substituindo na relação encontrada anteriormente: (p₂T₁/p₁T₂)^7/5 = p₂/p₁. Manipulando a equação, tem-se: p₂^2/5T₁^7/5 = p₁^2/5T₂^7/5 ⇒ T₂⁷ = (p₂/p₁)².T₁⁷ ⇒ T₂ = (p₂/p₁)^2/7.T₁.



Complemento:

Aqui, observe, primeiramente, a molécula linear que desenhei em um plano cartesiano xyz. Lembre-se, também, que a ligação química entre os átomos, em nossa análise, se comporta como uma barra fixa.

 

Note, aqui, para quais direções a molécula pode se movimentar. Esses serão seus graus de liberdade. É imediato que ela possui translação ao longo do eixo x (V_x), ao longo do eixo y (V_y) e ao longo do eixo z (V_z). Além disso, ela também possui rotação ao longo dos mesmos eixos, x (W_x), y (W_y) e z (W_z). Entretanto, veja que a rotação ao longo do eixo x não exerce, de fato, muita influência sobre a molécula e, por isso, podemos desprezá-la. O motivo real de sua não influência nos graus liberdade tem caráter quântico e acredito que não há necessidade de se aprofundar de tal maneira, visto que a explicação mais simples e visual já basta. Assim, pode-se concluir que uma molécula linear possui 5 graus de liberdade (V_x, V_y, V_z, W_y e W_z).

Eu recomendaria que você levasse essas informações prontas para a prova. De modo geral, dizemos que um gás monoatômico (o Hélio, por exemplo) tem 3 graus de liberdade, um gás diatômico ou de molécula linear (H₂ ou CO₂, por exemplo) tem 5 graus de liberdade e uma gás triatômico não linear (H₂O, por exemplo) tem 6 graus de liberdade. Parece uma grande decoreba, mas se você lembrar dessa análise nos eixos, será mais fácil de guardar cada caso.



No mais, é isso. Consegui desenvolver desse modo, não tenho certeza se é o melhor, mas bate com o gabarito. Se encontrar algum erro na resolução, avise-me. Se lhe restarem dúvidas, pergunte.

que aula!!!! muito obrigado, mestre!!
edit: uma pergunta, cara... que material/livro você me recomenda para ver sobre grau de liberdade?

Olha, me lembro de estudar isso quando comecei a ver teoria cinética dos gases e depois aparecem aplicações na termodinâmica. À época, me restringi a estudar essa matéria com foco militar e, muito provavelmente, essa seja a única razão pela qual essas relações com os graus de liberdade me vieram à mente para resolver o problema. Sendo bem sincero, esse assunto é um pouco complexo. O que te expliquei é um resumo (bem resumido mesmo) do Princípio da Equipartição de Energia. 

Se você for procurar algum material com esse assunto, provavelmente você encontrará algo bem pesado matematicamente. Foge um pouco do escopo dessas provas militares. Eu mesmo, não cheguei a usar nenhum livro pra estudar esse assunto. Se você quiser, e só se quiser mesmo, você pode dar uma olhada na aula 7 desse cara aqui: https://www.youtube.com/playlist?list=PLpVCamz0zLr9HZFMtviGYpbADpyQ6eqRP. Ajuda bastante a entender isso daí, mas, de verdade, não recomendaria que você se aprofundasse muito nisso. Só se for de seu interesse mesmo.

Perdão por não conseguir te recomendar algum livro. É bem possível que você encontre esse assunto nas apostilas de cursinho militar. Vale tentar.