Transforme em produto a expressão: cos 9x + sen5x

por Sr Sáb 01 Jan 2022, 11:14

Transforme em produto a expressão: cos 9x + sen5x

Gabarito:

Encontrei este exercício em uma lista da internet e fiquei em dúvida se ele estava completo, por ser o único da forma "transforme em produto senw + cosy". Todos os outros apresentavam a forma "transforme em produto senw + cos(y+π/z)".

por **Elcioschin** Sáb 01 Jan 2022, 11:28

Esta transformação é denominada prostaférese:

senp + senq = 2.sen[(p + q)/2].cos[(p - q)/2]

cos(9.x) + sen(5.x) = sen(∏/2 - 9.x) + sen(5.x) ---> p = ∏/2 - 9.x ---> q = 5.x

cos(9.x) + sen(5.x) = 2.sen[(∏/2 - 9.x + 5.x)/2].cos[(∏/2 - 9.x - 5.x)/2] = 2.sen(∏/4 - 2.x).cos(∏/4 - 7.x)

por **Giovana Martins** Sáb 01 Jan 2022, 11:33

A minha resolução é a mesma que a do Élcio, que equivale ao seu gabarito, porém, escrita de outra forma.

[latex]\\\mathrm{f(x)=cos(9x)+sin(5x)}\\\\\mathrm{f(x)=sin\left ( \frac{\pi }{2}-9x \right )+sin(5x)}\\\\\mathrm{f(x)=2sin\left ( \frac{\pi }{4}-2x \right )cos\left ( \frac{\pi }{4}-7x \right )}\\\\\mathrm{f(x)=sin(x)\ \acute{e}\ impar\ \therefore \ sin(-x)=-sin(x)}\\\\\mathrm{f(x)=cos(x)\ \acute{e}\ par\ \therefore \ cos(-x)=cos(x)}\\\\\mathrm{\therefore f(x)=-2sin\left ( 2x-\frac{\pi }{4} \right )cos\left ( 7x-\frac{\pi }{4} \right )}[/latex]