(IEZZI) - Equação Exponencial e valores reais.

Dada a equação, determine o valor de m para que a equação possua ao menos uma raiz real.

Resp.:


Bom dia, amigos!
Tentei resolver fazendo da seguinte forma:



Não consigo achar a parte do >½...
Obrigado!

Devemos ter duas raízes diferentes ou uma raiz dupla:


m² - 12.m ≥ 0 --> m.(m - 12) ≥ 0 ---> Parábola com concavidade voltada para cima e raízes m = 0 e m = 12

A função é positiva externamente às raízes e nula nas raízes ---> m ≤ 0 e m ≥ 12

Acho que o gabarito está errado.

Substiuímos 2^x = y. Assim, vem
y² - (m - 2)y + (2m + 1) = 0

Como 2^x = y > 0, admitimos apenas casos em que existe solução positiva da equação do segundo grau. Temos três casos a considerar
i) duas raízes positivas.
ii) uma raiz positiva e outra negativa.
iii) uma raiz nula e outra positiva.

Primeiro, para haver raízes temos
∆ >= 0
m² - 12.m > =0
Logo, m <= 0 ou m >= 12.

i) Se as duas raízes são positivas temos 0 < y' <= y'', assim vem
y' + y'' > 0 ⇔ m - 2 > 0 ⇔ m > 2
y'.y'' > 0 ⇔ 2m + 1 > 0 ⇔ m > - 1/2
∴ m >= 12.

ii) Quando temos apenas uma raiz positiva, temos:
y' < 0 <  y''
Por termos uma raiz de cada sinal vem:
2m + 1 < 0 ⇔ m < -1/2
∴ m < - 1/2

iii) Quando uma raiz for nula e a outra for positiva temos:
0 = y' < y''
Logo, 2m + 1 = 0 ⇔ m = - 1/2.
∴ não há solução para (iii).

Reunindo as soluções dos três possíveis casos temos m < -1/2 ou m >= 12.

Olá colegas!
Obrigado pelas respostas!

Elcio, caso o senhor queira, essa questão em específico do livro está com gabarito comentado... Posso postar aqui caso o senhor deseje assim!

E Rory, obrigado pela solução detalhadíssima q vc deu!!
Apenas alguns pontos que me deixaram na dúvida aqui:
 1. Vc disse para considerar "solução positiva da equação"... mas então pq devemos assumir uma das raízes positivas e a outra negativa?
 2. E se tivermos uma raíz dupla? Alteraria algo em nosso cálculo?
 3. É persistente fazer sempre essa análise nesse tipo de equação? Pelo que vi aqui, as próximas 6 questões do livro são do mesmo estilo kkkkkk. Então quero saber para q assim eu grave bem esse método seu quando for fazer questões desse tipo!!

De qualquer modo, obrigado pela ajuda de ambos!
Abraços!

1) Veja, suponha que a equação y² - (m - 2)y + (2m + 1) = 0 tenha uma raiz positiva e outra negativa. Mas, temos y = 2^x que é sempre positivo, logo só a raiz positiva é solução e descartamos a raiz y negativa. Isso, nos deu pelo menos uma solução como é pedido no enunciado.

2) Se a raiz y for dupla devemos ter y' e y'' positivos. Mas, esse caso foi considerado em (i), quando temos duas raízes reais positivas distintas ou iguais.

3) Você vai fazer a mesma coisa. Substitua a exponencial por uma variável e se cair em uma equação do segundo grau analise as três situações possíveis.

Belezaa Rory!

Obrigado, vc me ajudou bastante kkkk. Conseguiu me salvar de praticamente 7 questões
Vlww!!!