Limites

Penso ser isso.

[latex]\\\mathrm{\lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x+4}{x+3} \right )^x=e^{\lim_{x\to +\infty}\left [xln\left ( \frac{1+\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}} \right ) \right ]}=e^ \gamma }\\\\\mathrm{\gamma =\lim_{x\to +\infty}\left [xln\left ( \frac{1+\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}} \right ) \right ]=\lim_{x\to +\infty}\frac{ln\left (\frac{1+\frac{4}{x}}{1+\frac{3}{x}} \right )}{\frac{1}{x}}=\frac{0}{0}}\\\\\mathrm{Por\ L'H\hat{o}pital:\ \gamma =\lim_{x\to +\infty}\frac{x^2}{x^2+7x+12}=\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{1+\frac{7}{x}+\frac{12}{x^2}}=1}\\\\\mathrm{\therefore \ \lim_{x\to +\infty}\left ( \frac{x+4}{x+3} \right )^x=e^\gamma =e}[/latex]

Disponha.

A propósito, pelas regras do fórum é obrigatória a inclusão do gabarito na postagem se você o conhecer. Isso ajuda quem está tentando te ajudar e evita erros desnecessários.

Até mais .